Question

Про квадратный трёхчлен f(x)=ax^2+bx+c известно, что f(c)=3,     f(1/a)=8. Найдите, чему равно a⋅c.

Answer 1

Давайте найдем значение выражения a⋅c, используя информацию о функции f(x).

Известно, что f(c) = 3 и f(1/a) = 8. Заменим x на c и 1/a в выражении для f(x):

f(c) = ac^2 + bc + c = 3 f(1/a) = a(1/a)^2 + b(1/a) + c = 8

Упростим второе уравнение:

f(1/a) = a/a^2 + b/a + c = 8 = 1/a + b/a + c = 8 = (1 + b + ac)/a = 8

Теперь у нас есть два уравнения:

ac^2 + bc + c = 3 (1 + b + ac)/a = 8

Для решения этой системы уравнений мы можем использовать метод подстановки или метод исключения переменных. Давайте воспользуемся методом исключения переменных.

Умножим второе уравнение на a, чтобы избавиться от дроби:

1 + b + ac = 8a

Теперь выразим b через a и c:

b = 8a - 1 - ac

Подставим это выражение для b в первое уравнение:

ac^2 + (8a - 1 - ac)c + c = 3

Раскроем скобки и упростим уравнение:

ac^2 + 8ac - c - ac^2 + c^2 + c = 3 8ac + c^2 = 3

Теперь мы получили уравнение, содержащее только переменные a и c. Решим его:

c^2 + 8ac - 3 = 0

Это квадратное уравнение относительно переменной c. Мы можем использовать дискриминант для определения его решений.

Дискриминант D для этого уравнения равен:

D = (8a)^2 - 4(1)(-3) = 64a^2 + 12

Если D > 0, то уравнение имеет два различных решения для c. Если D = 0, то уравнение имеет одно решение для c. Если D < 0, то уравнение не имеет решений для c.

Подставим D в уравнение и рассмотрим различные случаи:

1) D > 0:

c1 = (-8a + sqrt(64a^2 + 12))/2 c2 = (-8a - sqrt(64a^2 + 12))/2

2) D = 0:

c = -8a/2 = -4a

3) D < 0:

Нет решений для c.

Таким образом, значение a⋅c зависит от значения a и c. Если D > 0, то есть два возможных значения для a⋅c (c1 и c2), если D = 0, то есть одно возможное значение для a⋅c (-4a), и если D < 0, то a⋅c не имеет определенного значения.