Question

Y=7-6x-x^2 Найти промежутки возрастания и убывания функции

Answer 1

Для начала найдем производную функции y=7-6x-x^2. Производная функции показывает скорость изменения значения функции на единицу изменения аргумента.

Для нахождения производной, нужно продифференцировать каждый член функции по отдельности:

dy/dx = d(7)/dx - d(6x)/dx - d(x^2)/dx

После дифференцирования получим:

dy/dx = 0 - 6 - 2x

Теперь найдем корни производной, то есть значения x, при которых производная равна нулю:

0 - 6 - 2x = 0

-6 - 2x = 0

-2x = 6

x = -3

Таким образом, единственный корень производной равен x = -3. Это значит, что функция имеет экстремум (максимум или минимум) при x = -3.

Теперь анализируем поведение функции на интервалах между корнями и вне их.

1. При x < -3 функция y = 7-6x-x^2 убывает. Это можно увидеть, если подставить любое значение меньше -3 в функцию и сравнить результат с соседними значениями. Например, при x = -4: y = 7-6*(-4)-(-4)^2 = 35, при x = -5: y = 7-6*(-5)-(-5)^2 = 56, при x = -6: y = 7-6*(-6)-(-6)^2 = 81. Значения возрастают, следовательно, функция убывает на интервале x < -3.

2. При -3 < x < -3 функция имеет экстремум. Для определения типа экстремума можно проанализировать значения функции до и после экстремума. Например, при x = -4: y = 7-6*(-4)-(-4)^2 = 35, при x = -2: y = 7-6*(-2)-(-2)^2 = 13. Значения меньше -3, а затем начинают увеличиваться, следовательно, функция имеет максимум при x = -3.

3. При x > -3 функция y = 7-6x-x^2 возрастает. Это можно увидеть, если подставить любое значение больше -3 в функцию и сравнить результат с соседними значениями. Например, при x = -2: y = 7-6*(-2)-(-2)^2 = 13, при x = -1: y = 7-6*(-1)-(-1)^2 = 2, при x = 0: y = 7-6*0-0^2 = 7. Значения возрастают, следовательно, функция возрастает на интервале x > -3.

Итак, функция y = 7-6x-x^2 убывает на интервале x < -3, имеет максимум при x = -3 и возрастает на интервале x > -3.