Question

2sin²x-7sinxcosx+5cos²x=0   я разделил на cos²x 2tg²x-7tgx+5=0 x₁=1;     x₂=5/2 tgx=1, x=π/4+πk,k∈Z.    tgx=5/2, arctg5/2+πk помоги найти корни принадлежащие отрезку [-2π;-π/2] желательно расписать 

Answer 1

Дано уравнение: 2sin²x - 7sinxcosx + 5cos²x = 0

Для начала, давайте разделим уравнение на cos²x, чтобы избавиться от этого члена: 2tan²x - 7tanx + 5 = 0

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение относительно tanx. Решим его с помощью квадратного трехчлена или формулы дискриминанта.

Формула дискриминанта: D = b² - 4ac Если D > 0, то уравнение имеет два различных решения. Если D = 0, то уравнение имеет одно решение. Если D < 0, то уравнение не имеет решений.

В нашем случае: a = 2, b = -7, c = 5

Вычислим дискриминант: D = (-7)² - 4(2)(5) = 49 - 40 = 9

D > 0, значит у нас есть два различных решения.

Теперь, найдем значения tanx:

tanx₁ = (-b + √D) / (2a) tanx₂ = (-b - √D) / (2a)

Подставим значения: tanx₁ = (-(-7) + √9) / (2*2) = (7 + 3) / 4 = 10 / 4 = 5/2 tanx₂ = (-(-7) - √9) / (2*2) = (7 - 3) / 4 = 4 / 4 = 1

Так как мы ищем значения x, а не tanx, мы должны использовать обратную функцию тангенса (arctan) для нахождения x.

x₁ = arctan(5/2) = π/4 + πk, где k ∈ Z x₂ = arctan(1) = π/4 + πk, где k ∈ Z

Теперь, нам нужно найти значения x, которые принадлежат отрезку [-2π; -π/2].

Давайте проверим значения x₁ и x₂, чтобы увидеть, какие из них подходят:

x₁ = π/4 + πk Подставим k = -2: x₁ = π/4 + π(-2) = π/4 - 2π = -7π/4 Подставим k = -1: x₁ = π/4 + π(-1) = π/4 - π = -3π/4 Подставим k = 0: x₁ = π/4 + π(0) = π/4 Подставим k = 1: x₁ = π/4 + π(1) = π/4 + π = 5π/4

x₂ = π/4 + πk Подставим k = -2: x₂ = π/4 + π(-2) = π/4 - 2π = -7π/4 Подставим k = -1: x₂ = π/4 + π(-1) = π/4 - π = -3π/4 Подставим k = 0: x₂ = π/4 + π(0) = π/4 Подставим k = 1: x₂ = π/4 + π(1) = π/4 + π = 5π/4

Таким образом, корни, которые принадлежат отрезку [-2π; -π/2], равны: x₁ = -7π/4 x₂ = -3π/4

Надеюсь, это помогло!