Question

Решить уравнение: sin^12x+cos^5x=1 (синус в двенадцатой степени икс плюс косинус в пятой степени икс равно единице) 

Answer 1

Для решения данного уравнения мы можем воспользоваться тригонометрическими тождествами.

Сначала применим тождество sin^2x + cos^2x = 1:

(sin^2x)^6 + (cos^2x)^3 = 1

(sin^2x)^6 + ((1 - sin^2x))^3 = 1

(sin^2x)^6 + (1 - 3sin^2x + 3sin^4x - sin^6x) = 1

sin^12x - 3sin^10x + 3sin^8x - sin^6x = 0

Заметим, что это уравнение является квадратным относительно sin^6x. Если обозначить sin^6x = t, то получим:

t^2 - 3t^2 + 3t - t = 0

t(t - 1)(t^2 - 2t + 1) = 0

Имеем два независимых уравнения:

1) t = 0

sin^6x = 0

Это равенство выполняется, если sinx = 0, т.е. x = 0 + kπ, где k - целое число.

2) t^2 - 2t + 1 = 0

(t - 1)^2 = 0

t - 1 = 0

sin^6x = 1

sinx = 1^(1/6)

sinx = 1

Это равенство выполняется, если x = π/2 + 2kπ, где k - целое число.

Итак, уравнение sin^12x + cos^5x = 1 имеет два набора решений:

1) x = 0 + kπ.

2) x = π/2 + 2kπ.