Question

2^sin^2x+2^cos^2x=3 два в степени синус квадрат икс плюс 2 в степени косинус квадрат икс равно трем

Answer 1

Давайте разберем данное уравнение шаг за шагом:

\[2^{\sin^2 x} + 2^{\cos^2 x} = 3.\]

Используем тригонометрическую тождественность \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\), чтобы упростить уравнение:

\[2^{\sin^2 x} + 2^{\cos^2 x} = 2^{\sin^2 x} + 2^{1 - \sin^2 x} = 2^{\sin^2 x} + \frac{2}{2^{\sin^2 x}}.\]

Теперь у нас есть общий знаменатель, и мы можем объединить дроби:

\[\frac{2^{\sin^2 x} \cdot 2^{\sin^2 x} + 2}{2^{\sin^2 x}} = \frac{2^{2\sin^2 x} + 2}{2^{\sin^2 x}}.\]

Теперь мы можем использовать замену переменной. Пусть \(u = 2^{\sin^2 x}\). Тогда уравнение примет вид:

\[\frac{u^2 + 2}{u} = 3.\]

Умножим обе стороны на \(u\):

\[u^2 + 2 = 3u.\]

Теперь у нас есть квадратное уравнение:

\[u^2 - 3u + 2 = 0.\]

Это уравнение можно разложить на множители:

\[(u - 2)(u - 1) = 0.\]

Таким образом, у нас есть два возможных значения \(u\): \(u = 2\) или \(u = 1\). Возвращаемся к исходной переменной \(2^{\sin^2 x}\):

\[2^{\sin^2 x} = 2 \quad \text{или} \quad 2^{\sin^2 x} = 1.\]

Решим каждое из этих уравнений:

1. Если \(2^{\sin^2 x} = 2\), то \(\sin^2 x = 1\). Это верно для \(\sin x = 1\) или \(\sin x = -1\).

2. Если \(2^{\sin^2 x} = 1\), то \(\sin^2 x = 0\). Это верно для \(\sin x = 0\).

Таким образом, уравнение имеет три решения:

1. \(\sin x = 1\), 2. \(\sin x = -1\), 3. \(\sin x = 0\).

Итак, значения угла \(x\), при которых исходное уравнение выполняется, это \(x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k\), \(x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k\) и \(x = 0 + \pi k\), где \(k\) - целое число.