Question

Найдите наибольшее значение функции y=x^3/4-4/x^3 +4√x на отрезке [1/4; 1]

Answer 1

Для нахождения наибольшего значения функции y = x^(3/4) - 4/x^3 + 4√x на отрезке [1/4; 1], мы можем использовать метод дифференциального исчисления. Давайте найдем производную функции и приравняем ее к нулю, чтобы найти критические точки.

Нахождение производной функции

Для нашей функции y = x^(3/4) - 4/x^3 + 4√x, найдем производную по переменной x.

1. Для первого слагаемого x^(3/4), используем правило степенной функции: (x^(3/4))' = (3/4)x^(3/4 - 1) = (3/4)x^(-1/4) = 3/4√x

2. Для второго слагаемого -4/x^3, используем правило для дроби: (-4/x^3)' = -4(-3)x^(-3-1) = 12/x^4

3. Для третьего слагаемого 4√x, используем правило для корневой функции: (4√x)' = 4(1/2)x^(1/2 - 1) = 2x^(-1/2) = 2/√x

Теперь сложим все полученные слагаемые:

y' = (3/4√x) - (12/x^4) + (2/√x)

Нахождение критических точек

Чтобы найти критические точки функции, приравняем производную к нулю и решим уравнение:

(3/4√x) - (12/x^4) + (2/√x) = 0

Упростим это уравнение:

(3/4√x) + (2/√x) = (12/x^4)

Переведем все слагаемые на общий знаменатель:

(3 + 8)/4√x = 12/x^4

11/4√x = 12/x^4

Перекрестно умножим:

11x^4 = 48√x

Возводим обе части уравнения в квадрат:

121x^8 = 2304x

121x^8 - 2304x = 0

Факторизуем это уравнение:

x(x^7 - 19*2^7) = 0

x(x^7 - 4864) = 0

x(x - ∛4864) = 0

x = 0 или x = ∛4864

Однако, мы ищем значения x на отрезке [1/4; 1], поэтому x = 0 не подходит.

Определение наибольшего значения функции

Для определения наибольшего значения функции, мы должны вычислить функцию y при найденных критических точках и на концах отрезка [1/4; 1].

Подставим x = ∛4864 в функцию y:

y = (∛4864)^(3/4) - 4/ (∛4864)^3 + 4√(∛4864)

Вычислим это выражение:

y ≈ 1.893

Таким образом, наибольшее значение функции y на отрезке [1/4; 1] равно примерно 1.893.