Question

4sin^3x+1=4sin^2x+sinx помогите решить уравнение и найтивсе корни принадлежащие промежутку [п;2п]?

Answer 1

Дано уравнение: 4sin^3x+1=4sin^2x+sinx

Перепишем его в виде: 4sin^3x - 4sin^2x - sinx + 1 = 0

Для решения данного уравнения применим метод подстановки:

Пусть u = sinx, тогда уравнение примет вид: 4u^3 - 4u^2 - u + 1 = 0

Теперь можем решить это уравнение как кубическое, используя, например, метод Кардано.

Для этого создадим вспомогательное уравнение: t^3 - 4t^2 - t + 1 = 0

Находим корни этого уравнения. В данном случае у нас есть два корня: t1 = 1 и t2 ≈ -0,5154.

Теперь решим вспомогательное кубическое уравнение с помощью метода Кардано. Для этого найдем q и r: q = (3 * (-4) - 1^2)/9 ≈ -4,4444 r = (9 * (-1 * (-4)) - 3 * (-4)^2 - 2^3)/54 ≈ 2,3214

Вычисляем угловые степени:

alpha = arccos(r / sqrt(|q|^3)) / 3 ≈ 0,4044 beta = 2pi/3

Находим три корня: t1 = 2 * sqrt(|q|) * cos(alpha) - 4/3 ≈ 0,6544 t2 = 2 * sqrt(|q|) * cos(alpha + 2pi/3) - 4/3 ≈ -1,654 t3 = 2 * sqrt(|q|) * cos(alpha + 4pi/3) - 4/3 ≈ 2

Теперь можем найти значения sinx, подставив найденные t в u = sinx: u1 = t1 ≈ 0,6544 u2 = t2 ≈ -1,654 u3 = t3 ≈ 2

Таким образом, получаем три значения sinx: sinx1 ≈ 0,6544, sinx2 ≈ -1,654, sinx3 ≈ 2.

Однако, мы знаем, что значения sinx лежат в промежутке [-1, 1]. Поэтому из полученных значений sinx, нам подходит только sinx1 ≈ 0,6544.

Таким образом, корень данного уравнения находится в промежутке [п; 2п] при sinx ≈ 0,6544.