Question

Докажите тождество (x+y)^3-x^3-y^3=3xy* (x+y)

Answer 1

Давайте докажем данное тождество: (x + y)^3 - x^3 - y^3 = 3xy(x + y).

Для начала раскроем кубы в левой части уравнения:

(x + y)^3 = (x + y)(x + y)(x + y) = (x + y)(x^2 + 2xy + y^2).

Теперь подставим это обратно в исходное уравнение:

(x + y)(x^2 + 2xy + y^2) - x^3 - y^3 = 3xy(x + y).

Раскроем скобки:

x^3 + 2x^2y + xy^2 + xy^2 + 2xy^2 + y^3 - x^3 - y^3 = 3xy(x + y).

Упростим выражение, сократив одинаковые слагаемые:

2x^2y + 3xy^2 = 3xy(x + y).

Теперь проведём дальнейшие преобразования:

2xy(x + y) + 3xy^2 = 3xy(x + y).

Вынесем общий множитель 3xy:

3xy(x + y + y) = 3xy(x + y).

Упростим выражение:

3xy(x + 2y) = 3xy(x + y).

Теперь видим, что обе части уравнения равны между собой, так как сократились общие множители:

3xy(x + 2y) = 3xy(x + y).

Таким образом, мы доказали тождество (x + y)^3 - x^3 - y^3 = 3xy(x + y).