Question

Решить систему уравнений:а) у-2х=2, 5x^2 - y =1б) х-2у^2=2, 3x+y=7

Answer 1

Давайте решим данную систему уравнений.

Система уравнений: 1. \( у - 2x = 2 \) 2. \( 5x^2 - y = 1 \) 3. \( х - 2у^2 = 2 \) 4. \( 3x + y = 7 \)

Давайте решим ее методом подстановки. Начнем с уравнения (1):

1. \( у - 2x = 2 \)

Выразим \( у \) из этого уравнения:

\( у = 2x + 2 \) (1.1)

Теперь подставим \( у \) в уравнение (2):

2. \( 5x^2 - y = 1 \)

Подставим \( у = 2x + 2 \):

\( 5x^2 - (2x + 2) = 1 \)

Упростим:

\( 5x^2 - 2x - 2 = 1 \)

\( 5x^2 - 2x - 3 = 0 \) (2.1)

Теперь решим квадратное уравнение (2.1). Мы видим, что оно не факторизуется, поэтому воспользуемся формулой дискриминанта:

Дискриминант \( D = b^2 - 4ac \), где у нас уравнение \( ax^2 + bx + c = 0 \).

В данном случае: \( a = 5, b = -2, c = -3 \)

\( D = (-2)^2 - 4(5)(-3) = 4 + 60 = 64 \)

Так как \( D > 0 \), у нас есть два вещественных корня.

Формулы для корней:

\( x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \)

\( x_{1,2} = \frac{2 \pm 8}{10} \)

Таким образом, получаем два значения \( x \):

\( x_1 = \frac{10}{10} = 1 \)

\( x_2 = \frac{-6}{10} = -0.6 \)

Теперь, подставим найденные значения \( x \) обратно в уравнение (1.1), чтобы получить соответствующие значения \( у \):

Для \( x = 1 \): \( у = 2(1) + 2 = 4 \)

Для \( x = -0.6 \): \( у = 2(-0.6) + 2 = 0.8 \)

Таким образом, у нас есть две пары решений для уравнений (1) и (2): \( (1, 4) \) и \( (-0.6, 0.8) \).

Теперь подставим эти значения в уравнения (3) и (4), чтобы проверить, соответствуют ли они всей системе:

3. \( х - 2у^2 = 2 \)

Для \( x = 1, у = 4 \): \( 1 - 2(4)^2 = 1 - 32 = -31 \neq 2 \) (не соответствует)

Для \( x = -0.6, у = 0.8 \): \( -0.6 - 2(0.8)^2 = -0.6 - 2(0.64) = -0.6 - 1.28 = -1.88 \neq 2 \) (не соответствует)

4. \( 3x + y = 7 \)

Для \( x = 1, у = 4 \): \( 3(1) + 4 = 7 \) (соответствует)

Для \( x = -0.6, у = 0.8 \): \( 3(-0.6) + 0.8 = -1.8 + 0.8 = -1 \neq 7 \) (не соответствует)

Таким образом, первая пара \( (1, 4) \) является решением всей системы уравнений.