Question

Дан треугольник с вершинами А2,-1, В-7, 3, С-1,-5. составить уравнение биссектрисы угла С

Answer 1

Для составления уравнения биссектрисы угла C в треугольнике, нам понадобятся координаты вершин А, В и С. Угол C образуется между сторонами AB и BC.

Шаг 1: Найдите длины сторон треугольника

Для начала, найдем длины сторон треугольника. Используем формулу расстояния между двумя точками в декартовой системе координат:

Длина стороны AB: AB = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2) = √((-7 - 2)^2 + (3 - (-1))^2) = √((-9)^2 + (4)^2) = √(81 + 16) = √97

Длина стороны BC: BC = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2) = √((-1 - (-7))^2 + (-5 - 3)^2) = √((6)^2 + (-8)^2) = √(36 + 64) = √100 = 10

Длина стороны AC: AC = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2) = √((-1 - 2)^2 + (-5 - (-1))^2) = √((-3)^2 + (-4)^2) = √(9 + 16) = √25 = 5

Шаг 2: Найдите полупериметр треугольника

Полупериметр треугольника p можно найти, сложив длины всех сторон и разделив на 2: p = (AB + BC + AC) / 2 = (10 + √97 + 5) / 2 = (10 + √97 + 5) / 2 = (15 + √97) / 2

Шаг 3: Найдите координаты точки, через которую проходит биссектриса

Для нахождения координат точки, через которую проходит биссектриса угла C, можно использовать формулу средней точки между вершинами B и C: Mx = (Bx + Cx) / 2 My = (By + Cy) / 2

Мx = (-7 + (-1)) / 2 = -8 / 2 = -4

My = (3 + (-5)) / 2 = -2 / 2 = -1

Координаты точки M: (-4, -1)

Шаг 4: Составьте уравнение биссектрисы угла C

Для составления уравнения биссектрисы угла C, требуется найти уравнение прямой, проходящей через точку M и перпендикулярной стороне AC.

1. Найдите угол между сторонами AB и BC: cos(θ) = (AB^2 + BC^2 - AC^2) / (2 * AB * BC) = (√97^2 + 10^2 - 5^2) / (2 * √97 * 10) = (97 + 100 - 25) / (2 * √97 * 10) = 172 / (2 * √97 * 10) = 86 / (√97 * 10)

2. Найдите угол bisC между биссектрисой и стороной BC: bisC = 90 - θ/2

3. Найдите угол bisA между биссектрисой и стороной AB: bisA = 90 + θ/2

4. Используя угол bisC, найдите угловой коэффициент прямой, проходящей через точку M: tan(bisC) = (My - Cy) / (Mx - Cx)

5. Подставьте значения координат точек и угловой коэффициент в уравнение прямой: y - My = m * (x - Mx), где m - угловой коэффициент y - (-1) = m * (x - (-4))

Теперь у вас есть уравнение биссектрисы угла C в треугольнике с вершинами A(2, -1), B(-7, 3) и C(-1, -5).

Answer 2

Чтобы найти уравнение биссектрисы угла в треугольнике, мы можем воспользоваться формулой для координатной биссектрисы. Биссектриса угла С поделит угол между отрезками AB и AC на две равные части.

Для начала, найдем координаты точки пересечения биссектрисы угла С с отрезком AB.

Уравнение биссектрисы можно представить в виде:

\[x = \frac{ax_1 + bx_2}{a + b}, \quad y = \frac{ay_1 + by_2}{a + b},\]

где \((x, y)\) - координаты точки пересечения биссектрисы с отрезком AB, а \((x_1, y_1)\) и \((x_2, y_2)\) - координаты вершин треугольника, в данном случае, \(A\) и \(B\).

Теперь найдем уравнение прямой \(AB\) и точку пересечения этой прямой с биссектрисой.

1. Уравнение прямой \(AB\): Уравнение прямой через две точки \((x_1, y_1)\) и \((x_2, y_2)\) можно найти с помощью формулы: \[y - y_1 = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \cdot (x - x_1)\]

2. Найдем координаты точки пересечения биссектрисы с отрезком AB:

\[x = \frac{2x_2 - x_1}{3}, \quad y = \frac{2y_2 - y_1}{3},\]

где \((x, y)\) - координаты точки пересечения биссектрисы с отрезком \(AB\), а \(A(2, -1)\) и \(B(-7, 3)\) - координаты вершин треугольника.

Таким образом, получим уравнение биссектрисы угла \(C\), которое проходит через точку пересечения биссектрисы с отрезком \(AB\) и вершину \(C(-1, -5)\).