Question

Решите уравнение х(х^2 –4х+8)=6(х–2)

Answer 1

Давайте решим данное уравнение:

\[ x(x^2 - 4x + 8) = 6(x - 2) \]

1. Раскроем скобки в левой части уравнения:

\[ x^3 - 4x^2 + 8x = 6x - 12 \]

2. Переносим все члены уравнения в одну сторону, чтобы уравнение приняло вид равенства нулю:

\[ x^3 - 4x^2 + 8x - 6x + 12 = 0 \]

3. Упростим уравнение:

\[ x^3 - 4x^2 + 2x + 12 = 0 \]

Теперь мы имеем кубическое уравнение. Решение кубических уравнений может быть сложным процессом, и общая формула для корней кубического уравнения сложна. Однако, в данном случае, решение можно упростить, используя рациональные корни.

4. Попробуем подставить x = 2 как решение:

\[ (2)^3 - 4(2)^2 + 2(2) + 12 = 0 \] \[ 8 - 16 + 4 + 12 = 0 \] \[ 8 - 16 + 16 = 0 \]

Таким образом, x = 2 - одно из решений.

5. Теперь разделим уравнение на (x - 2) с помощью синтетического деления или деления с остатком:

\[ (x^3 - 4x^2 + 2x + 12) \div (x - 2) \]

Частное: \( x^2 - 2x - 6 \)

Таким образом, уравнение может быть записано в виде:

\[ (x - 2)(x^2 - 2x - 6) = 0 \]

6. Решим квадратное уравнение \( x^2 - 2x - 6 = 0 \). Мы можем использовать квадратное уравнение для нахождения оставшихся корней.

\[ D = b^2 - 4ac \] \[ D = (-2)^2 - 4(1)(-6) \] \[ D = 4 + 24 \] \[ D = 28 \]

Таким образом, у нас есть два дополнительных корня:

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \] \[ x = \frac{2 \pm \sqrt{28}}{2} \] \[ x = 1 \pm \sqrt{7} \]

Итак, у уравнения \( x^3 - 4x^2 + 2x + 12 = 0 \) три корня:

\[ x = 2, \quad x = 1 + \sqrt{7}, \quad x = 1 - \sqrt{7} \]