Question

Решите 2sin 2n/3- ctg n/6

Answer 1

Для решения выражения \(2\sin\left(\frac{2n}{3}\right) - \cot\left(\frac{n}{6}\right)\), давайте воспользуемся тригонометрическими тождествами.

1. Тригонометрические тождества: - \(\cot(\theta) = \frac{1}{\tan(\theta)}\) - \(\tan(\theta) = \frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)}\) - \(\sin(2\alpha) = 2\sin(\alpha)\cos(\alpha)\)

2. Решение: Заменим \(\cot\left(\frac{n}{6}\right)\) на \(\frac{1}{\tan\left(\frac{n}{6}\right)}\) и затем подставим значение \(\tan\left(\frac{n}{6}\right)\) через \(\sin\) и \(\cos\).

\[ \begin{align*} 2\sin\left(\frac{2n}{3}\right) - \cot\left(\frac{n}{6}\right) & = 2\sin\left(\frac{2n}{3}\right) - \frac{1}{\tan\left(\frac{n}{6}\right)} \\ & = 2\sin\left(\frac{2n}{3}\right) - \frac{1}{\frac{\sin\left(\frac{n}{6}\right)}{\cos\left(\frac{n}{6}\right)}} \\ & = 2\sin\left(\frac{2n}{3}\right) - \frac{\cos\left(\frac{n}{6}\right)}{\sin\left(\frac{n}{6}\right)} \\ \end{align*} \]

Теперь мы имеем выражение, в котором все функции тригонометрии выражены через \(\sin\) и \(\cos\).

3. Общий знаменатель: Чтобы сложить или вычесть дроби, необходимо иметь общий знаменатель. Умножим первое слагаемое на \(\frac{\cos\left(\frac{n}{6}\right)}{\cos\left(\frac{n}{6}\right)}\):

\[ \begin{align*} 2\sin\left(\frac{2n}{3}\right) - \cot\left(\frac{n}{6}\right) & = 2\sin\left(\frac{2n}{3}\right) - \frac{\cos\left(\frac{n}{6}\right)}{\sin\left(\frac{n}{6}\right)} \\ & = \frac{2\sin\left(\frac{2n}{3}\right)\sin\left(\frac{n}{6}\right) - \cos\left(\frac{n}{6}\right)}{\sin\left(\frac{n}{6}\right)} \\ \end{align*} \]

4. Использование тригонометрических формул: Теперь воспользуемся формулой для \(\sin(2\alpha)\):

\[ \begin{align*} 2\sin\left(\frac{2n}{3}\right) - \cot\left(\frac{n}{6}\right) & = \frac{2\sin\left(\frac{n}{3}\right)\cos\left(\frac{n}{3}\right)\sin\left(\frac{n}{6}\right) - \cos\left(\frac{n}{6}\right)}{\sin\left(\frac{n}{6}\right)} \\ \end{align*} \]

Далее можно провести дополнительные упрощения, но в общем виде это выражение является ответом.