Question

Lg sin(x+|x|)=0 при каких значениях x справедливо равенство x=pi/4+pik. где k-целое число или x=pi/4+pik где k- больше либо равно 0

Answer 1

Чтобы решить уравнение \(Lg \sin(x + |x|) = 0\), давайте разберемся с его компонентами.

У вас есть функция \(Lg \sin(x + |x|)\), где \(Lg\) - логарифм по основанию 10, а \(|x|\) - модуль числа \(x\).

Исследуем функцию \(\sin(x + |x|)\). Обратите внимание, что \(\sin(x + |x|) = \sin(x + x)\), так как модуль числа \(x\) равен самому числу при \(x \geq 0\), и \(-x\) при \(x < 0\).

Таким образом, \(\sin(x + |x|) = \sin(2x)\).

Теперь у нас есть уравнение \(Lg \sin(2x) = 0\). Для того чтобы \(\sin(2x) = 0\), угол \(2x\) должен быть кратным \(\pi\), то есть:

\[2x = n\pi, \text{ где } n \text{ - целое число}\]

Решая относительно \(x\), получаем:

\[x = \frac{n\pi}{2}\]

Теперь подставим это значение в исходное уравнение \(Lg \sin(x + |x|) = 0\):

\[Lg \sin\left(\frac{n\pi}{2} + \left|\frac{n\pi}{2}\right|\right) = 0\]

Учитывая, что \(\left|\frac{n\pi}{2}\right|\) равен \(\frac{n\pi}{2}\), если \(n\) - четное число, и \(-\frac{n\pi}{2}\), если \(n\) - нечетное число, получаем два возможных варианта:

1. Если \(n\) - четное число, то:

\[Lg \sin\left(\frac{n\pi}{2} + \frac{n\pi}{2}\right) = Lg \sin(n\pi) = Lg(0) = -\infty\]

2. Если \(n\) - нечетное число, то:

\[Lg \sin\left(\frac{n\pi}{2} - \frac{n\pi}{2}\right) = Lg \sin(0) = Lg(0) = -\infty\]

Таким образом, уравнение \(Lg \sin(x + |x|) = 0\) выполняется при значениях \(x = \frac{n\pi}{2}\), где \(n\) - целое число. Однако, когда \(Lg(0) = -\infty\), уравнение \(Lg \sin(x + |x|) = 0\) тождественно равно 0. Таким образом, можно сказать, что данное уравнение выполняется для всех значений \(x = \frac{n\pi}{2}\), где \(n\) - целое число, и также для любого значения \(x\), при котором \(\sin(x + |x|) = 0\) (например, \(x = \frac{\pi}{4} + k\pi\), где \(k\) - целое число).