Question

Составить квадратное уравнение, корни которого равняются две третьих и 1.

Answer 1

Квадратное уравнение обычно имеет вид:

\[ax^2 + bx + c = 0.\]

В данном случае, мы знаем, что корни уравнения равны \(\frac{2}{3}\) и 1. Таким образом, у нас есть два корня \(x_1 = \frac{2}{3}\) и \(x_2 = 1\).

Формула для квадратного уравнения, имеющего корни \(x_1\) и \(x_2\), выглядит следующим образом:

\[ax^2 - (x_1 + x_2)x + x_1x_2 = 0.\]

Подставим значения \(x_1 = \frac{2}{3}\) и \(x_2 = 1\):

\[a\left(x^2 - \left(\frac{2}{3} + 1\right)x + \left(\frac{2}{3}\right) \cdot 1\right) = 0.\]

Упростим выражение в скобках:

\[a\left(x^2 - \frac{5}{3}x + \frac{2}{3}\right) = 0.\]

Таким образом, квадратное уравнение с корнями \(\frac{2}{3}\) и 1 имеет следующий вид:

\[ax^2 - \frac{5}{3}ax + \frac{2}{3}a = 0.\]

Теперь можно выбрать любое значение \(a\), чтобы получить бесконечное множество уравнений с данными корнями. Например, если \(a = 3\), то уравнение будет следующим:

\[3x^2 - 5x + 2 = 0.\]

Это квадратное уравнение имеет корни \(x_1 = \frac{2}{3}\) и \(x_2 = 1\).