Question

По одному из данных чисел sin альфа; cos альфа; tg альфа; ctg альфа; найти остальные три: 1) sin альфа= -5/13 и 3п/2 < альфа < 2п 2) сtg альфа= 7/24 и п < альфа < 3п/2

Answer 1

Давай начнем с первого уравнения, где дано, что \( \sin{\alpha} = -\frac{5}{13} \) и \( \frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi \).

Мы знаем, что синус угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе в прямоугольном треугольнике. В данном случае \( \sin{\alpha} = -\frac{5}{13} \), что означает, что противолежащий катет равен -5, а гипотенуза равна 13. Так как синус отрицательный, угол находится в третьем или четвертом квадранте.

Так как \( \frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi \), угол \( \alpha \) находится в четвертом квадранте, где косинус положителен, а синус отрицателен. Мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения противолежащего катета и прилежащего катета.

\( \cos{\alpha} = \sqrt{1 - \sin^2{\alpha}} \) \( \cos{\alpha} = \sqrt{1 - \left(-\frac{5}{13}\right)^2} \) \( \cos{\alpha} = \sqrt{1 - \frac{25}{169}} \) \( \cos{\alpha} = \sqrt{\frac{144}{169}} \) \( \cos{\alpha} = \frac{12}{13} \) (поскольку косинус положителен в четвертом квадранте)

Теперь у нас есть значения для синуса и косинуса. Мы можем найти остальные функции тригонометрии:

Тангенс угла \( \alpha \) равен отношению синуса к косинусу: \( \tan{\alpha} = \frac{\sin{\alpha}}{\cos{\alpha}} = \frac{-5/13}{12/13} = -\frac{5}{12} \)

Котангенс угла \( \alpha \) равен обратному значению тангенса: \( \cot{\alpha} = \frac{1}{\tan{\alpha}} = \frac{1}{-5/12} = -\frac{12}{5} \)

Теперь перейдем ко второму уравнению, где дано, что \( \tan{\alpha} = \frac{7}{24} \) и \( \pi < \alpha < \frac{3\pi}{2} \).

Тангенс угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему. Зная, что \( \tan{\alpha} = \frac{7}{24} \), мы можем сказать, что противолежащий катет равен 7, а прилежащий 24.

Теперь мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы найти гипотенузу:

\( \text{гипотенуза} = \sqrt{\text{противолежащий катет}^2 + \text{прилежащий катет}^2} \) \( \text{гипотенуза} = \sqrt{7^2 + 24^2} = \sqrt{49 + 576} = \sqrt{625} = 25 \)

Так как тангенс положителен и угол \( \alpha \) находится в четвертом квадранте, где котангенс отрицателен, мы находим косинус и синус следующим образом:

\( \cos{\alpha} = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{24}{25} \) \( \sin{\alpha} = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{7}{25} \)

Теперь, используя найденные значения для синуса и косинуса, мы можем найти котангенс:

\( \cot{\alpha} = \frac{1}{\tan{\alpha}} = \frac{1}{7/24} = \frac{24}{7} \)

Таким образом, для первого уравнения получаем: - \( \cos{\alpha} = \frac{12}{13} \) - \( \tan{\alpha} = -\frac{5}{12} \) - \( \cot{\alpha} = -\frac{12}{5} \)

Для второго уравнения: - \( \cos{\alpha} = \frac{24}{25} \) - \( \sin{\alpha} = \frac{7}{25} \) - \( \cot{\alpha} = \frac{24}{7} \)