Question

Решите уравнение log3(x-1)=1-1log1/3(x-3)

Answer 1

Для начала, давайте решим уравнение поэтапно.

Уравнение, которое дано: log3(x-1) = 1 - 1*log1/3(x-3)

Шаг 1: Приведение логарифмов к общему основанию

По свойствам логарифмов, мы можем привести логарифмы с разными основаниями к общему основанию. В данном случае, мы можем привести оба логарифма к основанию 3.

log3(x-1) = log3(3^(1-1*log1/3(x-3)))

Шаг 2: Упрощение выражения

По свойству логарифма loga(a^b) = b, мы можем упростить выражение внутри логарифма:

log3(x-1) = log3(3^(1-1*log1/3(x-3))) log3(x-1) = log3(3^(1-(log1/3(x-3))))

Шаг 3: Использование свойств логарифмов

Мы знаем, что loga(a) = 1, поэтому можно упростить выражение:

log3(x-1) = log3(3^(1-(log1/3(x-3)))) log3(x-1) = 1 - log1/3(x-3)

Шаг 4: Упрощение дальше

Давайте приведем логарифм log1/3(x-3) к основанию 3:

log3(x-1) = 1 - log1/3(x-3) log3(x-1) = 1 - (log3(x-3) / log3(1/3))

Шаг 5: Выражение в одном логарифме

Мы можем объединить логарифмы в один:

log3(x-1) = 1 - (log3(x-3) / log3(1/3)) log3(x-1) = 1 - (log3(x-3) / (-log3(3)))

Шаг 6: Упрощение дальше

Используя свойство логарифма loga(a^b) = b, мы можем упростить выражение в знаменателе:

log3(x-1) = 1 - (log3(x-3) / (-log3(3))) log3(x-1) = 1 - (log3(x-3) / (-1))

Шаг 7: Упрощение еще раз

Деление на -1 приведет к изменению знака:

log3(x-1) = 1 + log3(x-3)

Шаг 8: Приведение подобных

Мы можем объединить логарифмы с одинаковыми основаниями в один логарифм:

log3(x-1) - log3(x-3) = 1

Шаг 9: Использование свойства логарифма loga(b) - loga(c) = loga(b/c)

Мы можем использовать свойство логарифма для объединения двух логарифмов:

log3((x-1)/(x-3)) = 1

Шаг 10: Использование свойства логарифма loga(a^b) = b

Мы можем упростить левую часть уравнения:

(x-1)/(x-3) = 3^1 (x-1)/(x-3) = 3

Шаг 11: Решение уравнения

Теперь, давайте решим уравнение (x-1)/(x-3) = 3:

(x-1)/(x-3) = 3

Умножим обе стороны на (x-3):

(x-1) = 3(x-3)

Раскроем скобки:

x - 1 = 3x - 9

Вычтем x из обеих сторон:

-1 = 2x - 9

Добавим 9 к обеим сторонам:

8 = 2x

Разделим обе стороны на 2:

4 = x

Ответ:

Решение уравнения log3(x-1) = 1 - 1*log1/3(x-3) равно x = 4.