Question

Помогите срочно.Решите неравенство 9x^2-2x-8<8x^2

Answer 1

Давайте решим данное неравенство шаг за шагом:

\[9x^2 - 2x - 8 < 8x^2\]

1. Начнем с переноса всех членов на одну сторону уравнения, чтобы получить стандартную форму неравенства:

\[9x^2 - 2x - 8 - 8x^2 < 0\]

2. Объединим подобные члены:

\[(9 - 8)x^2 - 2x - 8 < 0\]

\[x^2 - 2x - 8 < 0\]

3. Теперь решим квадратное уравнение \(x^2 - 2x - 8 = 0\), чтобы найти его корни. Мы можем использовать квадратное уравнение:

\[x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]

где \(a\), \(b\), и \(c\) - коэффициенты квадратного уравнения \(ax^2 + bx + c\).

В данном случае:

\[a = 1, \quad b = -2, \quad c = -8\]

\[x = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(1)(-8)}}{2(1)}\]

\[x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2}\]

\[x = \frac{2 \pm \sqrt{36}}{2}\]

\[x = \frac{2 \pm 6}{2}\]

Таким образом, у нас два корня:

\[x_1 = \frac{2 + 6}{2} = 4\]

\[x_2 = \frac{2 - 6}{2} = -2\]

4. Теперь мы знаем корни уравнения. Для решения неравенства воспользуемся методом интервалов. Поставим корни на числовую прямую и выберем тестовую точку в каждом из интервалов, образованных корнями.

- Проверим интервал \((- \infty, -2)\). Для этого выберем точку \(x = -3\). \[(-3)^2 - 2(-3) - 8 = 9 + 6 - 8 = 7 > 0\]

- Проверим интервал \((-2, 4)\). Для этого выберем точку \(x = 0\). \[0^2 - 2(0) - 8 = -8 < 0\]

- Проверим интервал \((4, +\infty)\). Для этого выберем точку \(x = 5\). \[5^2 - 2(5) - 8 = 17 > 0\]

5. Таким образом, неравенство \(x^2 - 2x - 8 < 0\) выполняется на интервалах \((-2, 4)\).

Итак, решение неравенства: \(-2 < x < 4\).