Question

Решите квадратные уравнения : x^2=169 2x^2-x-1=0 x^2-10x+16=0 2x^4-5x^2+2=0

Answer 1

Конечно, я помогу вам решить эти квадратные уравнения поочередно.

1. \(x^2 = 169\)

Чтобы решить это уравнение, возьмем квадратный корень от обеих сторон:

\[ \begin{align*} x^2 &= 169 \\ x &= \pm \sqrt{169} \\ x &= \pm 13 \end{align*} \]

Таким образом, у уравнения два решения: \(x = 13\) и \(x = -13\).

2. \(2x^2 - x - 1 = 0\)

Это уравнение является квадратным. Мы можем решить его с помощью квадратного уравнения или методом факторизации, или даже используя квадратное уравнение.

Давайте воспользуемся методом решения квадратного уравнения:

Сначала выразим \(x\) в квадратном уравнении \(2x^2 - x - 1 = 0\):

\[x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]

Где \(a = 2\), \(b = -1\), и \(c = -1\).

Подставим значения:

\[x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1)}}{2 \cdot 2}\]

\[x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{4}\]

\[x = \frac{1 \pm \sqrt{9}}{4}\]

\[x = \frac{1 \pm 3}{4}\]

Два возможных решения:

\(x_1 = \frac{1 + 3}{4} = 1\)

\(x_2 = \frac{1 - 3}{4} = -\frac{1}{2}\)

Таким образом, у уравнения два корня: \(x = 1\) и \(x = -\frac{1}{2}\).

3. \(x^2 - 10x + 16 = 0\)

Это уравнение можно решить с помощью факторизации или использования квадратного уравнения. Давайте воспользуемся квадратным уравнением.

\[x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]

Где \(a = 1\), \(b = -10\), и \(c = 16\).

Подставим значения:

\[x = \frac{-(-10) \pm \sqrt{(-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}\]

\[x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 64}}{2}\]

\[x = \frac{10 \pm \sqrt{36}}{2}\]

\[x = \frac{10 \pm 6}{2}\]

Два возможных решения:

\(x_1 = \frac{10 + 6}{2} = 8\)

\(x_2 = \frac{10 - 6}{2} = 2\)

Таким образом, у уравнения два корня: \(x = 8\) и \(x = 2\).

4. \(2x^4 - 5x^2 + 2 = 0\)

Давайте введем замену переменной. Обозначим \(y = x^2\), тогда уравнение примет вид:

\[2y^2 - 5y + 2 = 0\]

Это квадратное уравнение относительно \(y\), которое можно решить с помощью факторизации или квадратного уравнения.

Решим его по формуле для квадратного уравнения:

\[y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]

Где \(a = 2\), \(b = -5\), и \(c = 2\).

Подставим значения:

\[y = \frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2}}{2 \cdot 2}\]

\[y = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 16}}{4}\]

\[y = \frac{5 \pm \sqrt{9}}{4}\]

\[y = \frac{5 \pm 3}{4}\]

Два возможных решения:

\(y_1 = \frac{5 + 3}{4} = 2\)

\(y_2 = \frac{5 - 3}{4} = \frac{1}{2}\)

Теперь, используя \(y = x^2\), найдем значения \(x\):

Для \(y_1 = 2\):

\[x^2 = 2 \Rightarrow x = \pm \sqrt{2}\]

Для \(y_2 = \frac{1}{2}\):

\[x^2 = \frac{1}{2} \Rightarrow x = \pm \sqrt{\frac{1}{2}} = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}\]

Таким образом, у уравнения четыре корня: \(x = \pm \sqrt{2}\) и \(x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}\).