Question

(2^x-x^2)dx найти неопределенный интеграл

Answer 1

Для решения данного интеграла, мы можем воспользоваться методом интегрирования по частям.

Интегрируемое выражение: (2^x - x^2)

Для этого применим формулу интегрирования по частям: ∫u*v dx = u*∫v dx - ∫(u' * ∫v dx) dx

Выберем: u = x^2, тогда u' = 2x v = 2^x, тогда ∫v dx = ∫2^x dx = (2^x) / ln(2)

Применяя формулу интегрирования по частям, получаем: ∫(2^x - x^2) dx = x^2 * (2^x / ln(2)) - ∫(2x * (2^x / ln(2))) dx

Теперь интегрируем новое выражение: ∫(2x * (2^x / ln(2))) dx

Для этого применим формулу интегрирования по частям еще раз: u = 2x, тогда u' = 2 v = (2^x / ln(2)), тогда ∫v dx = (2^x) / ln(2)

Применяя формулу интегрирования по частям, получаем: ∫(2x * (2^x / ln(2))) dx = 2x * ((2^x) / ln(2)) - ∫(2 * (2^x / ln(2))) dx

Интегрируем последнее выражение: ∫(2 * (2^x / ln(2))) dx = 2 * ((2^x) / ln(2))

Подставляем полученные значения в первоначальное выражение: ∫(2^x - x^2) dx = x^2 * (2^x / ln(2)) - 2x * ((2^x) / ln(2)) + 2 * ((2^x) / ln(2))

Таким образом, неопределенный интеграл от (2^x - x^2) dx равен: x^2 * (2^x / ln(2)) - 2x * ((2^x) / ln(2)) + 2 * ((2^x) / ln(2)) + C, где C - произвольная постоянная.

Answer 2

Давайте рассмотрим интеграл \(\int (2^x - x^2) \,dx\) более подробно. Для нахождения неопределенного интеграла, мы будем интегрировать каждое слагаемое по отдельности.

\[ \int (2^x - x^2) \,dx = \int 2^x \,dx - \int x^2 \,dx \]

1. Интеграл от \(2^x\): \[ \int 2^x \,dx \]

Интеграл от \(2^x\) можно найти, используя замену переменной. Пусть \(u = 2^x\), тогда \(du/dx = \ln(2) \cdot 2^x\), отсюда \(dx = du / (\ln(2) \cdot 2^x)\). Подставим это в интеграл:

\[ \int 2^x \,dx = \int \frac{u}{\ln(2) \cdot 2^x} \,du \]

Теперь проведем интегрирование по переменной \(u\):

\[ = \frac{1}{\ln(2)} \int \frac{u}{2^x} \,du \]

\[ = \frac{1}{\ln(2)} \int u \cdot 2^{-x} \,du \]

\[ = \frac{1}{\ln(2)} \cdot \frac{u \cdot 2^{-x}}{\ln(2)} + C_1 \]

\[ = \frac{u}{(\ln(2))^2} \cdot 2^{-x} + C_1 \]

Теперь вернемся к переменной \(x\):

\[ = \frac{2^x}{(\ln(2))^2} \cdot 2^{-x} + C_1 \]

\[ = \frac{1}{\ln(2)^2} + C_1 \]

2. Интеграл от \(x^2\): \[ \int x^2 \,dx \]

Этот интеграл можно найти, используя стандартные правила интегрирования:

\[ \int x^2 \,dx = \frac{1}{3}x^3 + C_2 \]

Где \(C_2\) - константа интегрирования.

Теперь объединим оба интеграла:

\[ \int (2^x - x^2) \,dx = \frac{1}{\ln(2)^2} \cdot 2^{-x} + \frac{1}{3}x^3 + C \]

Где \(C = C_1 + C_2\) - константа интегрирования.