Question

Решить уравнение 1) 8^x=2^1/5 2)121^x-7*11^x=5*11^x-11 3) 0.5^(x2+x-3.5)=2корень 2

Answer 1

Конечно, давай решать уравнения по очереди.

1) \(8^x = 2^{1/5}\)

Давай преобразуем обе стороны уравнения к степени 2, чтобы избавиться от разных оснований:

\(8^x = 2^{3x}\)

Теперь мы видим, что у нас есть общее основание \(2\), поэтому можно записать:

\(2^{3x} = 2^{1/5}\)

Теперь сравниваем показатели степеней:

\(3x = \frac{1}{5}\)

Так как у нас показатель степени — дробь, можно переписать его в виде десятичной дроби:

\(3x = \frac{1}{5} \Rightarrow x = \frac{1}{5 \cdot 3} = \frac{1}{15}\)

Ответ для первого уравнения: \(x = \frac{1}{15}\).

2) \(121^x - 7 \cdot 11^x = 5 \cdot 11^x - 11\)

Давай преобразуем выражение, чтобы изолировать \(11^x\):

\(121^x - 7 \cdot 11^x - 5 \cdot 11^x = -11\)

Теперь объединим члены с \(11^x\):

\(121^x - 12 \cdot 11^x = -11\)

Заметим, что \(121 = 11^2\), поэтому можно заменить \(121\) на \(11^2\):

\((11^2)^x - 12 \cdot 11^x = -11\)

Теперь введём новую переменную: \(y = 11^x\). Это превратит уравнение в квадратное:

\(y^2 - 12y + 11 = 0\)

Решим это квадратное уравнение:

\(D = (-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 11 = 144 - 44 = 100\)

\(y_{1,2} = \frac{-(-12) \pm \sqrt{100}}{2 \cdot 1}\)

\(y_{1,2} = \frac{12 \pm 10}{2}\)

\(y_1 = 11, y_2 = 1\)

Теперь вернемся к нашей замене переменной:

\(y = 11^x\)

Таким образом, у нас есть два возможных решения:

1) \(11^x = 11\), что даёт \(x = 1\) 2) \(11^x = 1\), что даёт \(x = 0\)

Ответы для второго уравнения: \(x = 0\) или \(x = 1\).

3) \(0.5^{x^2 + x - 3.5} = 2\sqrt{2}\)

Это уравнение можно переписать в виде:

\(0.5^{x^2 + x - 3.5} = 2\sqrt{2}\)

Используя свойство степени, чтобы избавиться от дробной части:

\(2^{-3x^2 - 3x + 7} = 2\sqrt{2}\)

Теперь мы видим, что основание обеих сторон уравнения равно 2, значит, показатели степеней должны быть равными:

\(-3x^2 - 3x + 7 = \frac{1}{2}\)

Теперь приведем уравнение к общему знаменателю:

\(-6x^2 - 6x + 14 = 1\)

\(-6x^2 - 6x + 13 = 0\)

Это квадратное уравнение, но мы не можем решить его в виде целых чисел или рациональных дробей. Мы можем использовать формулу дискриминанта, чтобы найти значения \(x\):

\(D = (-6)^2 - 4 \cdot (-6) \cdot 13 = 36 + 312 = 348\)

Поскольку дискриминант положителен, у нас есть два комплексных корня:

\(x = \frac{-(-6) \pm \sqrt{348}}{2 \cdot (-6)}\)

\(x = \frac{6 \pm \sqrt{348}}{-12}\)

\(x = \frac{6 \pm 2\sqrt{87}}{-12}\)

Ответы для третьего уравнения: \(x = \frac{6 + 2\sqrt{87}}{-12}\) или \(x = \frac{6 - 2\sqrt{87}}{-12}\).