Question

Частные производные z=(e^((x^2)*y))+(y/x)+3x+4 равны найти Zx и Zy

Answer 1

Давайте найдем частные производные функции \( z \) по переменным \( x \) и \( y \). Используем правила дифференцирования.

Итак, дана функция: \[ z = e^{x^2y} + \frac{y}{x} + 3x + 4 \]

1. Найдем частную производную \( z \) по \( x \) (\( \frac{\partial z}{\partial x} \) или \( z_x \)):

\[ z_x = \frac{\partial}{\partial x} (e^{x^2y}) + \frac{\partial}{\partial x} \left(\frac{y}{x}\right) + \frac{\partial}{\partial x} (3x) + \frac{\partial}{\partial x} (4) \]

Используем правило цепочки для первого члена и правило дифференцирования частного для второго члена:

\[ z_x = 2xye^{x^2y} - \frac{y}{x^2} + 3 \]

2. Теперь найдем частную производную \( z \) по \( y \) (\( \frac{\partial z}{\partial y} \) или \( z_y \)):

\[ z_y = \frac{\partial}{\partial y} (e^{x^2y}) + \frac{\partial}{\partial y} \left(\frac{y}{x}\right) + \frac{\partial}{\partial y} (3x) + \frac{\partial}{\partial y} (4) \]

Используем правило цепочки для первого члена и правило дифференцирования частного для второго члена:

\[ z_y = x^2e^{x^2y} + \frac{1}{x} \]

Таким образом, частные производные функции \( z \) по переменным \( x \) и \( y \) равны:

\[ z_x = 2xye^{x^2y} - \frac{y}{x^2} + 3 \]

\[ z_y = x^2e^{x^2y} + \frac{1}{x} \]