Question

Сумма членов геометрической прогрессии, стоящих на нечётных местах, равна 138, а на чётных – 69. Найдите знаменатель заданной геометрической прогрессии, если количество членов этой прогрессии равно 1990.

Answer 1

Давайте обозначим знаменатель геометрической прогрессии как \(q\), а первый член как \(a\). Тогда члены прогрессии будут иметь вид:

\[a, aq, aq^2, aq^3, \ldots\]

Сумма членов прогрессии, стоящих на нечетных местах, равна 138. С учетом индексации, начиная с 1, это будет:

\[a + aq^2 + aq^4 + \ldots = 138\]

Сумма членов прогрессии, стоящих на четных местах, равна 69:

\[aq + aq^3 + aq^5 + \ldots = 69\]

Мы знаем, что количество членов прогрессии равно 1990. Таким образом, у нас есть три уравнения:

1. Сумма нечетных членов: \(a + aq^2 + aq^4 + \ldots = 138\) 2. Сумма четных членов: \(aq + aq^3 + aq^5 + \ldots = 69\) 3. Количество членов: \(1 + 2 + 3 + \ldots + n = 1990\)

Сначала рассмотрим уравнение для суммы нечетных членов:

\[a + aq^2 + aq^4 + \ldots = 138\]

Это бесконечная геометрическая прогрессия, и мы можем воспользоваться формулой для суммы бесконечной геометрической прогрессии:

\[S = \frac{a}{1 - q^2} = 138\]

Теперь рассмотрим уравнение для суммы четных членов:

\[aq + aq^3 + aq^5 + \ldots = 69\]

Аналогично, это тоже бесконечная геометрическая прогрессия, и сумма будет равна:

\[S = \frac{aq}{1 - q^2} = 69\]

Теперь у нас есть два уравнения:

1. \(\frac{a}{1 - q^2} = 138\) 2. \(\frac{aq}{1 - q^2} = 69\)

Мы можем решить эту систему уравнений относительно \(a\) и \(q\). После нахождения \(a\) и \(q\) мы сможем найти искомый знаменатель \(q\).