Question

 решить уравнение4^{x+1} +15* 2 ^{x-1} -1=0

Answer 1

Давайте разберемся с уравнением:

\[4^{x+1} + 15 \cdot 2^{x-1} - 1 = 0\]

Для удобства решения, представим оба члена уравнения с базой 2:

\[2^{2(x+1)} + 15 \cdot 2^{x-1} - 1 = 0\]

Теперь мы можем использовать свойство степени для объединения баз. Заметим, что \(2^{2(x+1)}\) можно записать как \((2^2)^{x+1}\), что равносильно \(4^{x+1}\). Также заметим, что \(2^{x-1} = \frac{2^x}{2}\).

Теперь перепишем уравнение:

\[4^{x+1} + 15 \cdot \frac{2^x}{2} - 1 = 0\]

Упростим уравнение:

\[4^{x+1} + 15 \cdot 2^x - 1 = 0\]

Теперь заметим, что \(4^{x+1} = 4 \cdot 4^x\), поэтому мы можем заменить \(4^{x+1}\) на \(4 \cdot 4^x\):

\[4 \cdot 4^x + 15 \cdot 2^x - 1 = 0\]

Теперь давайте заметим, что \(4^x = (2^x)^2\). Заменим \(4^x\) на \((2^x)^2\):

\[4 \cdot (2^x)^2 + 15 \cdot 2^x - 1 = 0\]

Теперь это квадратное уравнение относительно переменной \(2^x\):

\[4(2^x)^2 + 15 \cdot 2^x - 1 = 0\]

Обозначим \(2^x\) как \(y\):

\[4y^2 + 15y - 1 = 0\]

Это квадратное уравнение можно решить с использованием квадратного корня или других методов решения квадратных уравнений. Для упрощения вычислений, воспользуемся квадратным корнем:

\[y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]

где у нас есть \(a = 4\), \(b = 15\), и \(c = -1\).

\[y = \frac{-15 \pm \sqrt{15^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-1)}}{2 \cdot 4}\]

\[y = \frac{-15 \pm \sqrt{225 + 16}}{8}\]

\[y = \frac{-15 \pm \sqrt{241}}{8}\]

Таким образом, у нас есть два значения для \(y\):

\[y_1 = \frac{-15 + \sqrt{241}}{8}\]

\[y_2 = \frac{-15 - \sqrt{241}}{8}\]

Теперь вернемся к исходной переменной \(2^x\):

\[2^x = \frac{-15 + \sqrt{241}}{8}\]

или

\[2^x = \frac{-15 - \sqrt{241}}{8}\]

Теперь решим для \(x\), используя логарифмы:

\[x = \log_2\left(\frac{-15 + \sqrt{241}}{8}\)\]

или

\[x = \log_2\left(\frac{-15 - \sqrt{241}}{8}\)\]

Заметьте, что логарифм будет определен только если аргумент под логарифмом положителен. Таким образом, нужно проверить, что \( \frac{-15 + \sqrt{241}}{8} > 0\) и \( \frac{-15 - \sqrt{241}}{8} > 0\).

После нахождения корней \(x\), нужно проверить, что они удовлетворяют исходному уравнению.