Question

Уравнение 6x^2+x-2=0 имеет корни x1 и x2. Не решая уравнение, найдите 1\\x1^3 +1\\x2^3

Answer 1

Для нахождения выражения для \( \frac{1}{x_1^3} + \frac{1}{x_2^3} \) без решения уравнения, мы можем использовать формулы Виета. Формулы Виета связывают корни квадратного уравнения с его коэффициентами.

Данное уравнение имеет вид \(6x^2 + x - 2 = 0\). Используем формулы Виета для нахождения связи между корнями и коэффициентами уравнения.

По формулам Виета: \(x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}\) \(x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}\)

Где a, b и c - коэффициенты уравнения. В нашем случае, a = 6, b = 1 и c = -2.

Подставим значения коэффициентов: \(x_1 + x_2 = -\frac{1}{6}\) \(x_1 \cdot x_2 = -\frac{2}{6}\)

Теперь мы можем использовать данные формулы Виета, чтобы получить выражение для \( \frac{1}{x_1^3} + \frac{1}{x_2^3} \):

Заметим, что \(x_1^3 + x_2^3 = (x_1 + x_2)(x_1^2 - x_1 \cdot x_2 + x_2^2)\) \(x_1^2 - x_1 \cdot x_2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 3x_1 \cdot x_2\)

Подставим значения: \(x_1^2 - x_1 \cdot x_2 + x_2^2 = \left(-\frac{1}{6}\right)^2 - 3 \cdot \left(-\frac{2}{6}\right)\)

Упростим: \(x_1^2 - x_1 \cdot x_2 + x_2^2 = \frac{1}{36} + \frac{1}{6} = \frac{7}{36}\)

Теперь, чтобы найти \( \frac{1}{x_1^3} + \frac{1}{x_2^3} \), мы можем возвести \(x_1^2 - x_1 \cdot x_2 + x_2^2\) в куб и заменить его в выражении:

\(\frac{1}{x_1^3} + \frac{1}{x_2^3} = \frac{1}{{\left(x_1^2 - x_1 \cdot x_2 + x_2^2\right)}^3} = \frac{1}{{\left(\frac{7}{36}\right)}^3}\)

Упростим: \(\frac{1}{x_1^3} + \frac{1}{x_2^3} = \frac{1}{\frac{343}{46656}} = \frac{46656}{343}\)

Таким образом, ответом на заданное выражение является \(\frac{46656}{343}\).