Question

Найдите расстояние от точки A(2:5) до прямой 4x-3y+1=0

Answer 1

Чтобы найти расстояние от точки до прямой в декартовой системе координат, мы можем воспользоваться формулой для расстояния от точки (x₀, y₀) до прямой Ax + By + C = 0:

\[ d = \frac{|Ax₀ + By₀ + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} \]

В данном случае, у нас есть точка A(2, 5) и уравнение прямой 4x - 3y + 1 = 0. Представим уравнение прямой в стандартной форме Ax + By + C = 0, где A, B, и C - это коэффициенты перед x, y и свободный член:

\[ 4x - 3y + 1 = 0 \] \[ -3y = -4x - 1 \] \[ 3y = 4x + 1 \] \[ y = \frac{4}{3}x + \frac{1}{3} \]

Теперь у нас есть A = 4/3, B = -1, C = 1/3. Подставим координаты точки A(2, 5) в формулу:

\[ d = \frac{|(4/3) \cdot 2 + (-1) \cdot 5 + 1/3|}{\sqrt{(4/3)^2 + (-1)^2}} \]

Вычислим числитель:

\[ |(8/3) - 5 + 1/3| = |(8/3) - (15/3) + 1/3| = |(-6/3) + 1/3| = |-2 + 1/3| = |-5/3| \]

Теперь вычислим знаменатель:

\[ \sqrt{(4/3)^2 + (-1)^2} = \sqrt{16/9 + 1} = \sqrt{(16 + 9)/9} = \sqrt{25/9} = 5/3 \]

Теперь подставим числитель и знаменатель обратно в формулу для расстояния:

\[ d = \frac{|-5/3|}{5/3} = \frac{5/3}{5/3} = 1 \]

Таким образом, расстояние от точки A(2, 5) до прямой 4x - 3y + 1 = 0 равно 1.