Question

2 sin^2 x -sin2x-2cos2x=0

Answer 1

Давайте рассмотрим уравнение и постараемся его решить:

\[2 \sin^2(x) - \sin(2x) - 2 \cos(2x) = 0\]

Прежде всего, давайте воспользуемся тригонометрическими тождествами для упрощения уравнения. Мы можем использовать тождество \(2\sin^2(x) = 1 - \cos(2x)\) и \(1 - \cos(2x) = 2\sin^2(x)\) для упрощения:

\[1 - \cos(2x) - \sin(2x) - 2\cos(2x) = 0\]

Теперь объединим подобные члены:

\[1 - 3\cos(2x) - \sin(2x) = 0\]

Теперь мы можем рассматривать это как квадратное уравнение относительно \(\cos(2x)\):

\[\cos(2x)^2 - \frac{1}{3}\cos(2x) - \frac{1}{3} = 0\]

Теперь давайте решим это квадратное уравнение. Обозначим \(\cos(2x)\) как \(t\):

\[t^2 - \frac{1}{3}t - \frac{1}{3} = 0\]

Для решения этого уравнения мы можем использовать квадратное уравнение или факторизацию. В данном случае, используя факторизацию:

\[(t + \frac{1}{3})(t - 1) = 0\]

Отсюда получаем два возможных значения \(t\):

\[t + \frac{1}{3} = 0 \quad \text{или} \quad t - 1 = 0\]

Отсюда:

\[t = -\frac{1}{3} \quad \text{или} \quad t = 1\]

Теперь вернемся к исходной переменной \(\cos(2x)\):

\[\cos(2x) = -\frac{1}{3} \quad \text{или} \quad \cos(2x) = 1\]

Теперь решим каждое уравнение относительно \(2x\):

1. \(\cos(2x) = -\frac{1}{3}\):

\[2x = \pm \arccos\left(-\frac{1}{3}\right)\]

2. \(\cos(2x) = 1\):

\[2x = 0\]

Теперь найдем значения \(x\):

1. Для \(\cos(2x) = -\frac{1}{3}\):

\[x = \pm \frac{1}{2} \arccos\left(-\frac{1}{3}\right)\]

2. Для \(\cos(2x) = 1\):

\[x = 0\]

Таким образом, уравнение имеет три решения:

\[x = \pm \frac{1}{2} \arccos\left(-\frac{1}{3}\right), \quad x = 0\]