Question

НАЙТИ ЦЕЛЫЕ РЕШЕНИЯ НЕРАВ-ВА НА ОТРЕЗКЕ [-3;3] 4^x-2^x<12 '^' - значок степени

Answer 1

Давайте рассмотрим неравенство \(4^x - 2^x < 12\), где x принадлежит отрезку \([-3;3]\).

Для удобства, заметим, что обе части неравенства положительны, так как любое число, возведенное в степень, неотрицательно.

1. Перепишем неравенство: \[4^x - 2^x < 12.\]

2. Приведем к общему основанию: \[2^{2x} - 2^x < 12.\]

3. Введем замену: \[y = 2^x.\] Тогда у нас получится: \[y^2 - y < 12.\]

4. Приведем к квадратному виду: \[y^2 - y - 12 < 0.\]

5. Решим квадратное уравнение: \[(y - 4)(y + 3) < 0.\]

6. Найдем интервалы, где неравенство выполняется: Точки разрыва \(y - 4 = 0 \Rightarrow y = 4\) и \(y + 3 = 0 \Rightarrow y = -3\). Таким образом, интервалы между -3 и 4 подходят.

7. Вернемся к переменной x: Так как \(y = 2^x\), мы можем записать: \[2^x < 4 \quad \text{и} \quad 2^x > -3.\]

8. Решим неравенства: \[\begin{align*} &2^x < 4 \\ &\Rightarrow x < 2. \end{align*}\] \[\begin{align*} &2^x > -3 \\ &\Rightarrow x > -\infty. \end{align*}\]

9. Совместим условия: Получаем, что решение неравенства это \(x\) из интервала \((- \infty, 2)\).

Таким образом, искомое множество решений для данного неравенства на отрезке \([-3;3]\) - это интервал \((- \infty, 2)\).