Question

Решить неравенство -x/(x^2-6x-7)<=0

Answer 1

Чтобы решить неравенство \(-\frac{x}{x^2-6x-7} \leq 0\), давайте начнем с определения областей, где данное неравенство выполняется.

1. Находим корни знаменателя: Решим уравнение \(x^2-6x-7 = 0\) для нахождения корней. Уравнение \(x^2-6x-7 = 0\) можно факторизовать или использовать квадратное уравнение. Если мы факторизуем, получим \((x-7)(x+1) = 0\), так что корни уравнения \(x^2-6x-7 = 0\) равны \(x = 7\) и \(x = -1\).

Таким образом, знаменатель \(x^2-6x-7\) равен нулю при \(x = 7\) и \(x = -1\).

2. Определяем знак выражения внутри неравенства: Рассмотрим три интервала, образованных корнями уравнения в знаменателе (то есть, интервалы \((- \infty, -1)\), \((-1, 7)\), и \((7, +\infty)\)).

Подставим тестовую точку из каждого интервала в исходное выражение \(-\frac{x}{x^2-6x-7}\), чтобы определить знак выражения в каждом интервале.

- Для интервала \((- \infty, -1)\): Пусть \(x = -2\), тогда \(-\frac{-2}{(-2)^2-6(-2)-7} > 0\).

- Для интервала \((-1, 7)\): Пусть \(x = 0\), тогда \(-\frac{0}{0^2-6(0)-7} < 0\).

- Для интервала \((7, +\infty)\): Пусть \(x = 8\), тогда \(-\frac{8}{8^2-6(8)-7} > 0\).

3. Анализируем результаты: - На интервале \((- \infty, -1)\) выражение положительное. - На интервале \((-1, 7)\) выражение отрицательное. - На интервале \((7, +\infty)\) выражение снова положительное.

Таким образом, решение неравенства \(-\frac{x}{x^2-6x-7} \leq 0\) — это множество всех \(x\) таких, что \(x \in (-1, 7]\), то есть, \(x\) принадлежит полуинтервалу от -1 до 7 включительно.