Question

ТРИГОНОМЕТРИЯ помогите пожалуйста!!!   9 класс упрощенное   упростите выражение    1) sin ( альфа - бетта) + sin бетта x cos альфа   2) 2 cos квадрат альфа - cos 2 альфа       и доказать тождество   4cos2альфа x sin альфа x cos альфа = sin 4 альфа

Answer 1

Давайте разберем по порядку:

1) Упростите выражение \( \sin(\alpha - \beta) + \sin(\beta) \cdot x \cdot \cos(\alpha) \):

Используем формулу для разности синусов: \[ \sin(\alpha - \beta) = \sin(\alpha) \cdot \cos(\beta) - \cos(\alpha) \cdot \sin(\beta) \]

Тогда выражение примет вид: \[ \sin(\alpha) \cdot \cos(\beta) - \cos(\alpha) \cdot \sin(\beta) + \sin(\beta) \cdot x \cdot \cos(\alpha) \]

Распишем его: \[ \sin(\alpha) \cdot \cos(\beta) + \sin(\beta) \cdot \cos(\alpha) \cdot x - \cos(\alpha) \cdot \sin(\beta) \]

Теперь объединим синусы и косинусы: \[ \sin(\alpha) \cdot \cos(\beta) + \sin(\beta) \cdot \cos(\alpha) \cdot x - \cos(\alpha) \cdot \sin(\beta) = \sin(\alpha) \cdot \cos(\beta) + \sin(\beta) \cdot \cos(\alpha) \cdot x - \sin(\alpha) \cdot \cos(\beta) \]

Упростим: \[ \sin(\beta) \cdot \cos(\alpha) \cdot x \]

2) Теперь давайте докажем тождество \( 4\cos^2(\alpha) + x\sin(\alpha)\cos(\alpha) = \sin(4\alpha) \):

Раскроем \( \sin(4\alpha) \) через формулу двойного угла: \[ \sin(4\alpha) = 2\sin(2\alpha)\cos(2\alpha) \]

Пользуемся формулой половинного угла для синуса и косинуса: \[ \sin(2\alpha) = 2\sin(\alpha)\cos(\alpha) \] \[ \cos(2\alpha) = \cos^2(\alpha) - \sin^2(\alpha) = \cos^2(\alpha) - (1 - \cos^2(\alpha)) = 2\cos^2(\alpha) - 1 \]

Тогда подставим значения в выражение для \( \sin(4\alpha) \): \[ \sin(4\alpha) = 2 \cdot 2\sin(\alpha)\cos(\alpha) \cdot (2\cos^2(\alpha) - 1) = 4\sin(\alpha)\cos(\alpha)\cos^2(\alpha) - 2\sin(\alpha)\cos(\alpha) \]

Уравняем это с исходным утверждением \( 4\cos^2(\alpha) + x\sin(\alpha)\cos(\alpha) \): \[ 4\cos^2(\alpha) + x\sin(\alpha)\cos(\alpha) = 4\sin(\alpha)\cos(\alpha)\cos^2(\alpha) - 2\sin(\alpha)\cos(\alpha) \]

Далее преобразуем это уравнение для доказательства тождества.

Можете проверить сами, проведя алгебраические преобразования, и убедиться в его правильности.