Question

Вычисления производных 1) Найдите f'(4), если f(x)=(х-5)^14. 2) Найдите f'(4), если f(x)=(3x-11)^8. 3) Найдите g'(7), если g(x)=7/(x-6)^5 4) Найдите y'(2), если y(x)=5/(4x-9)^3

Answer 1

1) Найдите f'(4), если f(x) = (x-5)^14.

Для нахождения производной функции f(x), нужно использовать правило дифференцирования степенной функции и цепное правило.

Правило дифференцирования степенной функции гласит: если f(x) = x^n, то f'(x) = n * x^(n-1).

Применяем это правило к функции f(x) = (x-5)^14:

f'(x) = 14 * (x-5)^(14-1) = 14 * (x-5)^13.

Теперь, чтобы найти f'(4), подставим x = 4 в полученную производную:

f'(4) = 14 * (4-5)^13 = 14 * (-1)^13 = 14 * (-1) = -14.

Таким образом, f'(4) = -14.

2) Найдите f'(4), если f(x) = (3x-11)^8.

Применяем аналогичные шаги для нахождения производной функции f(x) = (3x-11)^8:

f'(x) = 8 * (3x-11)^(8-1) = 8 * (3x-11)^7.

Подставляем x = 4:

f'(4) = 8 * (3*4-11)^7 = 8 * (12-11)^7 = 8 * 1^7 = 8 * 1 = 8.

Таким образом, f'(4) = 8.

3) Найдите g'(7), если g(x) = 7/(x-6)^5.

Для нахождения производной функции g(x), используем правило дифференцирования частного функций и правило дифференцирования степенной функции.

Правило дифференцирования частного функций гласит: если g(x) = f(x)/h(x), то g'(x) = (f'(x)*h(x) - f(x)*h'(x))/(h(x))^2.

Применяем это правило к функции g(x) = 7/(x-6)^5:

g'(x) = (0*(x-6)^5 - 7*5*(x-6)^4)/((x-6)^5)^2 = -35*(x-6)^4/((x-6)^10) = -35/(x-6)^6.

Подставляем x = 7:

g'(7) = -35/(7-6)^6 = -35/1^6 = -35.

Таким образом, g'(7) = -35.

4) Найдите y'(2), если y(x) = 5/(4x-9)^3.

Применяем аналогичные шаги для нахождения производной функции y(x) = 5/(4x-9)^3:

y'(x) = -3 * 5/(4x-9)^(3+1) = -15/(4x-9)^4.

Подставляем x = 2:

y'(2) = -15/(4*2-9)^4 = -15/(-1)^4 = -15/1 = -15.

Таким образом, y'(2) = -15.