Question

Найти длину вектора [a,b] вектор а=2n-m Вектор b=4n+m [m}=1 [n}=2 угол [n,m]= pi / 3

Answer 1

Давайте рассмотрим задачу более подробно. У нас есть два вектора:

\[ \mathbf{a} = \begin{bmatrix} 2n - m \\ 4n + m \end{bmatrix} \]

\[ \mathbf{b} = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix} \]

И нам нужно найти длину вектора \( \begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix} \), где \( a \) и \( b \) - это компоненты вектора \( \mathbf{a} \), а \( m \) и \( n \) - неизвестные.

Длина вектора \( \begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix} \) вычисляется по формуле:

\[ \|\mathbf{v}\| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2} \]

где \( v_1 \) и \( v_2 \) - компоненты вектора \( \mathbf{v} \).

Подставим компоненты вектора \( \begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix} \):

\[ \|\begin{bmatrix} 2n - m \\ 4n + m \end{bmatrix}\| = \sqrt{(2n - m)^2 + (4n + m)^2} \]

Раскроем скобки:

\[ \sqrt{4n^2 - 4nm + m^2 + 16n^2 + 8nm + m^2} \]

Сгруппируем по степеням \( n \) и \( m \):

\[ \sqrt{20n^2 + 2m^2} \]

Теперь нам дано, что \( \cos(\theta) = \frac{n}{\sqrt{n^2 + m^2}} \), и \( \theta = \frac{\pi}{3} \).

Мы можем использовать это, чтобы найти отношение \( \frac{n}{\sqrt{n^2 + m^2}} \), а затем решить уравнение для \( n \) и \( m \).

\[ \cos(\theta) = \frac{n}{\sqrt{n^2 + m^2}} \]

\[ \frac{n}{\sqrt{n^2 + m^2}} = \frac{1}{2} \]

Теперь возводим обе стороны в квадрат:

\[ \frac{n^2}{n^2 + m^2} = \frac{1}{4} \]

Решим это уравнение:

\[ 4n^2 = n^2 + m^2 \]

\[ 3n^2 = m^2 \]

\[ m = \sqrt{3}n \]

Теперь мы можем подставить это значение \( m \) в формулу для длины вектора:

\[ \|\begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix}\| = \sqrt{20n^2 + 2(3n)^2} \]

\[ \|\begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix}\| = \sqrt{20n^2 + 18n^2} \]

\[ \|\begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix}\| = \sqrt{38n^2} \]

\[ \|\begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix}\| = \sqrt{38} |n| \]

Таким образом, длина вектора \( \begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix} \) равна \( \sqrt{38} |n| \).