Question

помогите   Ребро правильного тетраэдра равно 1. Определите радиус шара касающегося всех ребер тетраэдра

Answer 1

Для решения этой задачи мы можем воспользоваться свойствами правильного тетраэдра и шара, описанного вокруг него. В правильном тетраэдре все рёбра и все грани равны между собой, и угол между любыми двумя рёбрами равен 60 градусам.

Обозначим через \( r \) радиус описанной сферы. Точка, касающаяся всех рёбер тетраэдра, лежит в центре описанной сферы. Поскольку эта точка касания лежит на ребре тетраэдра, она находится на равном расстоянии от его двух конечных точек.

Поскольку угол между рёбрами тетраэдра равен 60 градусам, то для каждого треугольника, образованного двумя конечными точками ребра и центром сферы, у нас есть равносторонний треугольник. Таким образом, мы можем построить равносторонний треугольник с высотой, идущей из центра сферы к середине ребра тетраэдра.

Рассмотрим такой треугольник. Половина ребра тетраэдра (его половина равна \( \frac{1}{2} \)) является катетом, а радиус сферы является высотой. Мы можем использовать тригонометрические соотношения для равностороннего треугольника, чтобы найти высоту:

\[ \tan(30^\circ) = \frac{\text{половина ребра}}{\text{радиус сферы}} \]

Решая это уравнение относительно радиуса сферы (\( r \)), мы получим:

\[ r = \frac{\text{половина ребра}}{\tan(30^\circ)} \]

Подставим известное значение \(\tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}}\):

\[ r = \frac{\text{половина ребра} \cdot \sqrt{3}}{3} \]

Таким образом, радиус шара, касающегося всех рёбер правильного тетраэдра с ребром длиной 1, равен:

\[ r = \frac{\sqrt{3}}{3} \]