Question

1+cos(п/3)+cos^2(п/3)+cos^3(п/3)+... Не могу понять, как это решать. Тема: тригономтрические функции. Помогите, пожалуйста.

Answer 1

Давайте разберемся с данным выражением. У вас дано выражение:

\[1 + \cos\left(\frac{\pi}{3}\) + \cos^2\left(\frac{\pi}{3}\) + \cos^3\left(\frac{\pi}{3}\) + \ldots.\]

Для решения этого ряда воспользуемся тригонометрическими свойствами. Обратим внимание, что \(\cos\left(\frac{\pi}{3}\)\) - это угол \(60^\circ\), и мы можем воспользоваться формулой для суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

\[S = \frac{a}{1 - r},\]

где \(S\) - сумма, \(a\) - первый член, \(r\) - знаменатель прогрессии.

В данном случае первый член \(a\) равен 1, а знаменатель \(r\) равен \(\cos\left(\frac{\pi}{3}\)\). Однако, прежде чем подставить значения, давайте проверим условия сходимости геометрической прогрессии. Модуль \(|\cos\left(\frac{\pi}{3}\)\)| должен быть меньше 1.

В данном случае \(|\cos\left(\frac{\pi}{3}\)\)| равен \(0.5\), что удовлетворяет условиям. Теперь мы можем вычислить сумму:

\[S = \frac{1}{1 - \cos\left(\frac{\pi}{3}\)}.\]

Для упрощения этой дроби мы можем умножить числитель и знаменатель на сопряженное выражение:

\[S = \frac{1}{1 - \cos\left(\frac{\pi}{3}\)} \cdot \frac{1 + \cos\left(\frac{\pi}{3}\)}{1 + \cos\left(\frac{\pi}{3}\)}.\]

Теперь в числителе получаем \((1 + \cos\left(\frac{\pi}{3}\))\), а в знаменателе разность квадратов:

\[S = \frac{1 + \cos\left(\frac{\pi}{3}\)}{1 - \cos^2\left(\frac{\pi}{3}\)}.\]

Используем тригонометрическое тождество \(\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1\) для замены \(\cos^2\left(\frac{\pi}{3}\)\):

\[S = \frac{1 + \cos\left(\frac{\pi}{3}\)}{\sin^2\left(\frac{\pi}{3}\)}.\]

Теперь вспоминаем, что \(\sin\left(\frac{\pi}{3}\) = \frac{\sqrt{3}}{2}\) и \(\cos\left(\frac{\pi}{3}\) = \frac{1}{2}\), и подставляем значения:

\[S = \frac{1 + \frac{1}{2}}{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2} = \frac{3}{\sqrt{3}^2} = \frac{3}{3} = 1.\]

Итак, сумма данного бесконечного ряда равна 1.