Question

Из всех прямоугольников с диагональю 18 см найдите прямоугольник наибольшей площади.

Answer 1

Чтобы найти прямоугольник наибольшей площади с заданной диагональю, мы должны знать, что диагональ прямоугольника является гипотенузой прямоугольного треугольника, а его стороны являются катетами.

Пусть одна сторона прямоугольника равна x см, тогда вторая сторона будет равна (18^2 - x^2)^(1/2) см, так как по теореме Пифагора сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.

Теперь мы можем выразить площадь S прямоугольника через одну сторону: S = x * (18^2 - x^2)^(1/2)

Чтобы найти максимальное значение площади, мы можем продифференцировать S по x и приравнять производную к нулю: dS/dx = (18^2 - x^2)^(1/2) - x^2 / (18^2 - x^2)^(1/2) = 0

Упростив это уравнение, мы получим: (x^2 - 18^2) / (18^2 - x^2)^(1/2) = 0

Поскольку мы ищем положительное значение x, мы можем проигнорировать отрицательное решение: x^2 = 18^2 x = 18 см

Таким образом, прямоугольник с одной стороной равной 18 см будет иметь наибольшую площадь. Вторая сторона будет равна (18^2 - 18^2)^(1/2) = 0 см, что означает, что это будет вырожденный прямоугольник, состоящий из одной стороны длиной 18 см.