Question

77 баллов!найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке:у=2х^2-х^4 при [-2;1.5] Помогите бедному гуманитарию.Спасибо!

Answer 1

Для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на заданном отрезке, мы можем использовать методы анализа функций. В данном случае, функция задана как у = 2x^2 - x^4, а отрезок [-2; 1.5].

Нахождение наибольшего значения функции:

Чтобы найти наибольшее значение функции, мы должны найти точку, где производная функции равна нулю или не существует, и проверить значения функции в этой точке и на концах отрезка.

1. Найдем производную функции у = 2x^2 - x^4: - Производная функции у = 2x^2 - x^4 равна: у' = 4x - 4x^3.

2. Решим уравнение у' = 0 для нахождения точек, где производная равна нулю: - 4x - 4x^3 = 0. - Факторизуем: 4x(1 - x^2) = 0. - Получаем два значения x: x = 0 и x = ±1.

3. Проверим значения функции в найденных точках и на концах отрезка: - Подставим x = -2, x = 0, x = 1, и x = 1.5 в функцию у = 2x^2 - x^4: - При x = -2: у = 2(-2)^2 - (-2)^4 = 8 - 16 = -8. - При x = 0: у = 2(0)^2 - (0)^4 = 0. - При x = 1: у = 2(1)^2 - (1)^4 = 2 - 1 = 1. - При x = 1.5: у = 2(1.5)^2 - (1.5)^4 = 4.5 - 5.0625 = -0.5625.

4. Сравним полученные значения и выберем наибольшее: - Наибольшее значение функции на отрезке [-2; 1.5] равно 8, достигается при x = -2.

Нахождение наименьшего значения функции:

Чтобы найти наименьшее значение функции, мы должны найти точку, где производная функции равна нулю или не существует, и проверить значения функции в этой точке и на концах отрезка.

1. Найдем производную функции у = 2x^2 - x^4: - Производная функции у = 2x^2 - x^4 равна: у' = 4x - 4x^3.

2. Решим уравнение у' = 0 для нахождения точек, где производная равна нулю: - 4x - 4x^3 = 0. - Факторизуем: 4x(1 - x^2) = 0. - Получаем два значения x: x = 0 и x = ±1.

3. Проверим значения функции в найденных точках и на концах отрезка: - Подставим x = -2, x = 0, x = 1, и x = 1.5 в функцию у = 2x^2 - x^4: - При x = -2: у = 2(-2)^2 - (-2)^4 = 8 - 16 = -8. - При x = 0: у = 2(0)^2 - (0)^4 = 0. - При x = 1: у = 2(1)^2 - (1)^4 = 2 - 1 = 1. - При x = 1.5: у = 2(1.5)^2 - (1.5)^4 = 4.5 - 5.0625 = -0.5625.

4. Сравним полученные значения и выберем наименьшее: - Наименьшее значение функции на отрезке [-2; 1.5] равно -8, достигается при x = -2.

Таким образом, наибольшее значение функции на отрезке [-2; 1.5] равно 8 и достигается при x = -2, а наименьшее значение функции равно -8 и достигается при x = -2.