Question

Найти производную. f(x)=ctg(x/9)+cos7x-47 Заранее спасибо.

Answer 1

Конечно, давайте найдем производную функции \( f(x) = \ctg\left(\frac{x}{9}\right) + \cos(7x) - 47 \).

Для удобства, представим функцию в виде суммы трех слагаемых:

\[ f(x) = \ctg\left(\frac{x}{9}\right) + \cos(7x) - 47 \]

Теперь найдем производные каждого слагаемого по отдельности, а затем сложим их:

1. Производная первого слагаемого: \[ \frac{d}{dx}\left(\ctg\left(\frac{x}{9}\right)\right) \]

Для этого воспользуемся правилом дифференцирования тангенса:

\[ \frac{d}{dx}\left(\ctg(u)\right) = -\csc^2(u) \cdot \frac{du}{dx} \]

Подставим \( u = \frac{x}{9} \):

\[ \frac{d}{dx}\left(\ctg\left(\frac{x}{9}\right)\right) = -\csc^2\left(\frac{x}{9}\right) \cdot \frac{d}{dx}\left(\frac{x}{9}\right) \]

Упростим выражение:

\[ = -\frac{1}{\sin^2\left(\frac{x}{9}\right)} \cdot \frac{1}{9} \]

2. Производная второго слагаемого: \[ \frac{d}{dx}(\cos(7x)) \]

Производная косинуса равна отрицательному синусу, умноженному на производную аргумента:

\[ \frac{d}{dx}(\cos(7x)) = -7\sin(7x) \]

3. Производная третьего слагаемого: \[ \frac{d}{dx}(-47) \]

Поскольку константа, производная постоянной равна нулю:

\[ \frac{d}{dx}(-47) = 0 \]

Теперь сложим производные:

\[ f'(x) = -\frac{1}{9\sin^2\left(\frac{x}{9}\right)} - 7\sin(7x) \]

Таким образом, производная функции \( f(x) \) равна:

\[ f'(x) = -\frac{1}{9\sin^2\left(\frac{x}{9}\right)} - 7\sin(7x) \]