Question

Сумма первых трех членов убывающей арифметической прогрессии равна 9, а сумма их квадратов равна 99. Найдите пятый член прогрессии.

Answer 1

Пусть первый член прогрессии равен а, а разность равна d. Тогда второй член будет равен а - d, третий член будет равен а - 2d, четвертый член будет равен а - 3d, а пятый член будет равен а - 4d.

Из условия задачи имеем: а + (а - d) + (а - 2d) = 9 (1) а^2 + (а - d)^2 + (а - 2d)^2 = 99 (2)

Раскроем скобки во втором уравнении: а^2 + а^2 - 2ad + d^2 + а^2 - 4ad + 4d^2 = 99 3а^2 - 6ad + 5d^2 = 99

Разделим оба уравнения на 3: а + (а - d) + (а - 2d) = 9 / 3 = 3 (1') а^2 + (а - d)^2 + (а - 2d)^2 = 99 / 3 = 33 (2')

Раскроем скобки во втором уравнении: а^2 + а^2 - 2ad + d^2 + а^2 - 4ad + 4d^2 = 33 3а^2 - 6ad + 5d^2 = 33

Вычтем (2') из 3 * (1'): 3а^2 - 6ad + 5d^2 - (3а^2 - 6ad + 3d^2) = 33 - 99 3а^2 - 6ad + 5d^2 - 3а^2 + 6ad - 3d^2 = -66 2d^2 = -66 d^2 = -33

Так как d^2 не может быть отрицательным числом, то задача не имеет решений.