Question

Высота правильной четырёхугольной пирамиды равна 12, сторона основания равна 8. Найдите тангенс угла между плоскостью боковой грани и плоскостью основания пирамиды. Ответ:3 Нужно решение.

Answer 1

Для решения этой задачи, мы можем воспользоваться определением тангенса угла между двумя плоскостями. Пусть \( h \) - высота пирамиды, \( a \) - длина стороны основания. Также обозначим угол между плоскостью боковой грани и плоскостью основания как \( \alpha \).

Тангенс угла между двумя плоскостями выражается формулой:

\[ \tan(\alpha) = \frac{\text{высота}}{\text{полудиагональ основания}} \]

Полудиагональ основания правильной четырёхугольной пирамиды равна половине длины диагонали квадрата, который образует основание. Длина диагонали квадрата с длиной стороны \( a \) равна \( a\sqrt{2} \).

Таким образом, тангенс угла \( \alpha \) равен:

\[ \tan(\alpha) = \frac{h}{\frac{a\sqrt{2}}{2}} \]

Упростим это выражение:

\[ \tan(\alpha) = \frac{2h}{a\sqrt{2}} \]

Теперь мы можем подставить значения \( h = 12 \) и \( a = 8 \):

\[ \tan(\alpha) = \frac{2 \cdot 12}{8\sqrt{2}} \]

\[ \tan(\alpha) = \frac{24}{8\sqrt{2}} \]

\[ \tan(\alpha) = \frac{3}{\sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} \]

\[ \tan(\alpha) = \frac{3\sqrt{2}}{2} \]

Таким образом, тангенс угла между плоскостью боковой грани и плоскостью основания пирамиды равен \( \frac{3\sqrt{2}}{2} \), что приблизительно равно 2.121.