Question

При каких значениях переменной имеет смысл выражение : √ 3х²+ 2х- 5=

Answer 1

Чтобы определить, при каких значениях переменной уравнение имеет смысл, нужно рассмотреть условия, при которых выражение под знаком корня неотрицательно (так как корень из отрицательного числа в рамках вещественных чисел не определен).

Имеем уравнение:

\[ \sqrt{3x^2 + 2x - 5} \]

Выражение под корнем должно быть неотрицательным:

\[ 3x^2 + 2x - 5 \geq 0 \]

Теперь нужно решить это неравенство. Для этого можно воспользоваться методом интервалов:

1. Найдем корни квадратного уравнения \(3x^2 + 2x - 5 = 0\). 2. Построим интервалы на числовой прямой, используя корни.

Уравнение \(3x^2 + 2x - 5 = 0\) можно решить с помощью квадратного трехчлена. Дискриминант этого уравнения равен:

\[ D = b^2 - 4ac \]

где \(a = 3\), \(b = 2\), \(c = -5\).

\[ D = 2^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-5) = 4 + 60 = 64 \]

Поскольку дискриминант положителен, у уравнения два действительных корня:

\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]

\[ x_{1,2} = \frac{-2 \pm 8}{6} \]

Таким образом, корни уравнения:

\[ x_1 = -\frac{1}{3} \]

\[ x_2 = 1 \]

Теперь построим интервалы:

1. Если \(x < -\frac{1}{3}\), то \(3x^2 + 2x - 5 < 0\). 2. Если \(-\frac{1}{3} < x < 1\), то \(3x^2 + 2x - 5 > 0\). 3. Если \(x > 1\), то \(3x^2 + 2x - 5 < 0\).

Таким образом, уравнение \(\sqrt{3x^2 + 2x - 5}\) имеет смысл при значениях переменной \(x\), лежащих в интервале \(-\frac{1}{3} < x < 1\).