Question

Упростите выражения (4xy)/(y^(2)-x^(2) : (1)/(y^(2)-x^(2) + (1)/x^(2)+2xy-y^(2

Answer 1

Конечно, давайте разберём это выражение по частям.

Выражение: \(\frac{4xy}{y^2-x^2} : \left(\frac{1}{y^2-x^2} + \frac{1}{x^2} + 2xy - y^2\right)\)

Для начала заметим, что \(y^2 - x^2\) может быть представлено как \((y + x)(y - x)\), что поможет нам в упрощении выражения.

Теперь разделим числитель на знаменатель:

\(\frac{4xy}{y^2-x^2} : \left(\frac{1}{y^2-x^2} + \frac{1}{x^2} + 2xy - y^2\right)\)

Раскроем скобки в знаменателе правой части:

\(\frac{4xy}{y^2-x^2} : \frac{1}{y^2-x^2} + \frac{4xy}{y^2-x^2} : \frac{1}{x^2} + \frac{4xy}{y^2-x^2} : (2xy - y^2)\)

Теперь рассмотрим каждое слагаемое по отдельности.

1. \(\frac{4xy}{y^2-x^2} : \frac{1}{y^2-x^2}\)

Это превращается в \(\frac{4xy}{y^2-x^2} \cdot \frac{y^2-x^2}{1}\), где \(y^2 - x^2\) сокращается, и остаётся \(4xy\).

2. \(\frac{4xy}{y^2-x^2} : \frac{1}{x^2}\)

Это становится \(\frac{4xy}{y^2-x^2} \cdot x^2\), что дает \(4xy \cdot x^2\) или \(4x^3y\).

3. \(\frac{4xy}{y^2-x^2} : (2xy - y^2)\)

Это можно переписать как \(\frac{4xy}{y^2-x^2} : (y(2x - y))\), где \(y^2 - x^2 = (y + x)(y - x)\), и \(2xy - y^2 = -y(y - 2x)\). После упрощения получается \(-\frac{4xy}{y + x}\).

Итак, упрощенное выражение будет:

\[4xy + 4x^3y - \frac{4xy}{y + x}\]