Question

Помогите решить 12+3x^2+2x<0

Answer 1

Для решения неравенства \(12 + 3x^2 + 2x < 0\), следует выполнить несколько шагов. Это квадратное неравенство, и для его решения используются методы, связанные с выделением квадратного трёхчлена.

1. Приведем неравенство к стандартному виду \(ax^2 + bx + c < 0\). В вашем случае \(a = 3\), \(b = 2\), и \(c = 12\). \[3x^2 + 2x + 12 < 0\]

2. Выполним анализ дискриминанта (выражение под корнем в квадратном уравнении). Дискриминант \(\Delta = b^2 - 4ac\).

\[\Delta = 2^2 - 4(3)(12) = 4 - 144 = -140\]

Поскольку дискриминант отрицателен, уравнение имеет два комплексных корня.

3. Теперь определим знак коэффициента \(a\) (в данном случае \(a = 3\)). Поскольку \(a > 0\), у нас открывается ветвь параболы вверх.

4. Найдем вершину параболы. Формула для вершины параболы \(x_v = -\frac{b}{2a}\).

\[x_v = -\frac{2}{2 \times 3} = -\frac{1}{3}\]

Теперь найдем значение функции в вершине \(f(x_v) = f\left(-\frac{1}{3}\right)\):

\[f\left(-\frac{1}{3}\right) = 3\left(-\frac{1}{3}\right)^2 + 2\left(-\frac{1}{3}\right) + 12 = \frac{15}{3} - \frac{2}{3} + 12 = \frac{25}{3}\]

5. Так как коэффициент \(a\) положителен, парабола направлена вверх, и неравенство \(3x^2 + 2x + 12 < 0\) верно в интервалах между корнями уравнения \(3x^2 + 2x + 12 = 0\).

6. Поскольку дискриминант отрицателен, уравнение \(3x^2 + 2x + 12 = 0\) не имеет действительных корней. Следовательно, неравенство \(3x^2 + 2x + 12 < 0\) верно для всех значений \(x\).

Таким образом, решение данного квадратного неравенства – это все действительные значения переменной \(x\):

\[x \in (-\infty, +\infty)\]