Question

Является ли равносильными(на R) данные уравнения(ответ обоснуйте) а)х ^ (2)=4 и (х-2)(х+2)=0 б)х+1=0 и х+корень из х=корень из х -1

Answer 1

Давайте рассмотрим каждое уравнение отдельно:

а) \(x^2 = 4\)

Это уравнение можно решить, взяв квадратный корень обеих сторон:

\[ x = \pm \sqrt{4} \]

Таким образом, уравнение имеет два решения: \( x = 2 \) и \( x = -2 \).

Теперь рассмотрим уравнение \((x - 2)(x + 2) = 0\).

Используем свойство нулевого произведения: если произведение нескольких множителей равно нулю, то хотя бы один из множителей должен быть равен нулю. Таким образом, у нас есть два случая:

1. \(x - 2 = 0\), откуда \(x = 2\). 2. \(x + 2 = 0\), откуда \(x = -2\).

Таким образом, решения этого уравнения также \(x = 2\) и \(x = -2\).

Таким образом, уравнения \(x^2 = 4\) и \((x - 2)(x + 2) = 0\) действительно имеют одинаковые решения.

б) \(x + 1 = 0\)

Из этого уравнения можно выразить \(x\):

\[ x = -1 \]

Теперь рассмотрим уравнение \(\sqrt{x} = \sqrt{x} - 1\).

Выразим корень из \(x\) слева:

\[ \sqrt{x} - \sqrt{x} = -1 \]

Получается, что уравнение \(0 = -1\) не имеет решений.

Таким образом, решения уравнения \(x + 1 = 0\) и \(\sqrt{x} = \sqrt{x} - 1\) различны.

Вывод: Уравнения в первом случае имеют одинаковые решения, в то время как во втором случае решения различны.