Question

Решить уравнение: cosx+sinx=(sinx+cosx)^2

Answer 1

$cosx+sinx=(sinx+cosx)^2$

$cosx+sinx-(sinx+cosx)^2=0$

$(cosx+sinx)(1-sinx-cosx)=0$

$1-cosx-sinx=0$          или     $cosx+sinx=0$ | : $cosx \neq 0$

$2sin^2 \frac{x}{2}-2sin \frac{x}{2}cos \frac{x}{2}=0$         или       $1+tgx=0$

$2sin\frac{x}{2}(sin \frac{x}{2} -cos \frac{x}{2})=0$           или      $tgx=-1$

$2sin\frac{x}{2}=0$   или   $sin \frac{x}{2} -cos \frac{x}{2}=0$   или    $x=- \frac{ \pi }{4}+ \pi k,$ $k$ ∈ $Z$

$\frac{x}{2}= \pi n,$ $n$ ∈ $Z$   или   $tg \frac{x}{2} -1=0$

$x=2 \pi n,$ $n$ ∈ $Z$   или $tg\frac{x}{2} =1$
                                      $\frac{x}{2} = \frac{ \pi }{4} + \pi m,$ $m$ ∈ $Z$
                                      $x= \frac{ \pi }{2}+2 \pi m,$ $m$ ∈ $Z$

$cosx \neq 0$
$x \neq \frac{ \pi }{2} + \pi k,$ $k$ ∈ $Z$

$cos \frac{x}{2 } \neq 0$
$\frac{x}{2} \neq \frac{ \pi }{2} + \pi n,$ $n$ ∈ $Z$
$x \neq \pi +2 \pi n,$ $n$ ∈ $Z$

P. S.
 $sin2 \alpha =2sin \alpha cos \alpha$

$1-cos \alpha =2sin^2 \frac{ \alpha }{2}$