Question

Решить дифференциальное уравнение: xy'+y-eˣ=0

Answer 1

Разделим обе части уравнения на х
$y'+ \dfrac{y}{x} = \dfrac{e^x}{x}$
Это дифференциальное уравнение первого порядка, разрешенной относительно производной, неоднородное.
Пусть $y=uv$, тогда $y'=u'v+uv'$

$u'v+uv'+ \dfrac{uv}{x} = \dfrac{e^x}{x} \\ \\ \\ u'v+u\bigg(v'+ \dfrac{v}{x}\bigg) =\dfrac{e^x}{x}$
Решение состоит из двух этапов:
1) Предполагаем, что второе слагаемое равен нулю
$v'+ \dfrac{v}{x} =0\\ \\ v'=- \dfrac{v}{x}$
Получили уравнение с разделяющимися переменными.
По определению дифференциала
$\dfrac{dv}{dx} =- \dfrac{v}{x} \\ \\ \dfrac{dv}{v} =-\dfrac{dx}{x}$
Интегрируя обе части уравнения, получаем:
$\displaystyle \int\limits {\dfrac{dv}{v} } \,=- \int\limits {\dfrac{dx}{x} } \, \\ \\ \ln|v|=-\ln|x|\\ v= \frac{1}{x}$

2) Раз предположили что второе слагаемое = 0, то

$\displaystyle u'v= \frac{e^x}{x} \\ \\ u'\cdot \frac{1}{x}=\frac{e^x}{x}\\ \\ \\ u'=e^x$
Интегрируя обе части уравнения, получаем:
$\displaystyle u= \int\limits {e^x} \, dx =e^x+C$

Выполним обратную замену:

$y=uv=\dfrac{e^x+C}{x}$ - общее решение исходного уравнения


Ответ: $y=\dfrac{e^x+C}{x}$