Question

сумма трех чисел,составляющих геометрическую прогрессию,равна 26. Если первое число оставить без изменения,второе увеличить на 3,а третье уменьшить на 2,то полученные числа будут составлять арифметическую прогрессию.Найдите исходные числа.

Answer 1

если три числа составляют геометрическую прогрессию то их можно записать как

a; aq; aq²

их сумма a+aq+aq²=26; a(1+q+q²)=26⇒ a=26/(1+q+q²)

теперь выполним второе условие

a; aq+3; aq²-2 и теперь это арифметическая прогрессия, для которой выполняется условие:

aq+3-a=aq²-2-(aq+3)

a(q-1)+3=aq(q-1)-5

aq(q-1)-a(q-1)=8

a(q-1)²=8

подставим а=26/(1+q+q²)

26/(1+q+q²) * (q-1)²=8

26(q-1)²=8(1+q+q²)

18q²-60q+18=0 | :2

9q²-30q+9=0

D=900-324=576=24²

q₁=(30+24)/18=3; q₂=(30-24)/18=1/3

Теперь рассмотрим два случая

q₁=3. тогда a=26/(1+3+9)=2; aq=6; aq²=18

получили прогрессию  2; 6; 18

q₂=1/3. тогда a=26(1+1/3+1/9)=18; aq=6; aq²=2

получили прогрессию 18; 6; 2

Оба случая верные