Question

(1+√2 sinx - cos2x)/(ctgx - 1) = 0 решите пожалуйста уравнение

Answer 1

(1+√2 sinx - cos2x)/(ctgx - 1) = 0
1+√2 sinx - cos2x = 0
ctgx - 1 ≠ 0, x ≠ π/4 + πk, k ∈ Z, sinx ≠ 0, x ≠ πn, n ∈Z
1)   1+√2 sinx - cos2x = 0
1+√2 sinx - (1 - 2sin²x) = 0
1+√2 sinx - 1 + 2sin²x = 0
√2 sinx + 2sin²x = 0
sinx*(√2 + 2sinx) = 0
 √2 + 2sinx = 0
2sinx = - √2
sinx = - √2/2
x = (-1)^n * arcsin (- √2/2) + πm, m ∈ Z
x = (-1)^(n+1) * arcsin (√2/2) + πm, m ∈ Z
x = (-1)^(n+1) * ( π/4) + πm, m ∈ Z
Ответ:  x = (-1)^(n+1) * ( π/4) + πm, m ∈ Z

Answer 2

Чтобы решить данное уравнение, нам необходимо найти такие значения переменной x, при которых выражение станет равным 0.

Давайте разберемся с выражением (1+√2+sinx - cos2x)/(ctgx - 1):

1. Заменим ctgx на 1/tgx, так как ctgx равно обратному значению tgx: (1+√2+sinx - cos2x)/(1/tgx - 1) 2. Упростим выражение в числителе: 1+√2+sinx - cos2x = 1 + √2 + sinx - (1 - 2sin^2x) Упрощаем: 1 + √2 + sinx - 1 + 2sin^2x = √2 + sinx + 2sin^2x 3. Упростим выражение в знаменателе: 1/tgx - 1 = (1 - tgx)/tgx 4. Получаем уравнение: (√2 + sinx + 2sin^2x) / ((1 - tgx)/tgx) = 0

Для решения этого уравнения мы можем использовать метод подстановки.

Разделим числитель и знаменатель на tgx: ((√2 + sinx + 2sin^2x) / (1 - tgx)) * tgx = 0

Теперь у нас есть уравнение: (√2tgx + sintgx + 2sin^2x*tgx) / (1 - tgx) = 0

Рассмотрим два случая:

1. Если tgx = 0, то уравнение превращается в (√2(0) + sin(0) + 2sin^2(0)*(0)) / (1 - 0) = 0 / 1 = 0. Ноль является решением этого случая.

2. Если 1 - tgx ≠ 0, то (√2tgx + sintgx + 2sin^2x*tgx) = 0. Мы можем умножить уравнение на (1 - tgx), получим: (√2tgx + sintgx + 2sin^2x*tgx) * (1 - tgx) = 0 * (1 - tgx) Получаем уравнение: (√2tgx + sintgx + 2sin^2x*tgx - (√2tgx*tgx - sintgx*tgx)) = 0 Упрощаем: √2tgx + sintgx + 2sin^2x*tgx - √2tgx*tgx + sintgx*tgx = = √2tgx + sintgx + 2sin^2x*tgx - √2tgx*tgx + sintgx*tgx = = tgx(√2 + 2sin^2x - √2tgx + sintgx)

Теперь у нас есть: tgx(√2 + 2sin^2x - √2tgx + sintgx) = 0

Уравнение tgx = 0 имеет решения при x = ...,-2*pi, -pi, 0, pi, 2*pi,... и т.д. (кратные значения pi).

Остается решить уравнение (√2 + 2sin^2x - √2tgx + sintgx) = 0.

Такое уравнение решить в общем виде аналитически сложно. Можно использовать численные методы для приближенного нахождения решения.