Question

Решите систему уравнений: ху=4, у^2-х^2=6.

Answer 1

X = 2 корень из 10 / 5
у = корень из 10

Answer 2

Давайте решим данную систему уравнений:

1. \(xy = 4\) 2. \(y^2 - x^2 = 6\)

Давайте выразим одну переменную через другую, используя первое уравнение:

Из уравнения \(xy = 4\) мы можем выразить, например, \(y\) через \(x\), поделив обе стороны на \(x\):

\[y = \frac{4}{x}\]

Теперь мы можем подставить это выражение во второе уравнение:

\[\left(\frac{4}{x}\right)^2 - x^2 = 6\]

Раскрываем скобки и упрощаем:

\[\frac{16}{x^2} - x^2 = 6\]

Умножим обе стороны на \(x^2\), чтобы избавиться от знаменателя:

\[16 - x^4 = 6x^2\]

Теперь приведем все члены уравнения в одну степень:

\[x^4 + 6x^2 - 16 = 0\]

Теперь это уравнение четвертой степени. Для решения его можно воспользоваться заменой переменной. Обозначим \(u = x^2\):

\[u^2 + 6u - 16 = 0\]

Теперь это уравнение квадратное относительно \(u\). Решим его с использованием квадратного корня:

\[u = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]

где \(a = 1\), \(b = 6\), \(c = -16\).

\[u = \frac{-6 \pm \sqrt{6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-16)}}{2 \cdot 1}\]

\[u = \frac{-6 \pm \sqrt{36 + 64}}{2}\]

\[u = \frac{-6 \pm \sqrt{100}}{2}\]

\[u = \frac{-6 \pm 10}{2}\]

Таким образом, у нас есть два возможных значения \(u\): \(u_1 = 2\) и \(u_2 = -8\).

Теперь восстановим значения переменной \(x\):

1. Для \(u_1 = 2\): \[x^2 = 2\] \[x = \pm \sqrt{2}\]

2. Для \(u_2 = -8\): \[x^2 = -8\] \[x\) - действительных корней нет, так как нельзя извлечь квадратный корень из отрицательного числа.

Теперь подставим найденные значения \(x\) в выражение для \(y\):

1. Для \(x = \sqrt{2}\) или \(x = -\sqrt{2}\): \[y = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}\] или \[y = \frac{4}{-\sqrt{2}} = -2\sqrt{2}\]

Таким образом, у системы уравнений есть два решения: 1. \(x = \sqrt{2}\), \(y = 2\sqrt{2}\) 2. \(x = -\sqrt{2}\), \(y = -2\sqrt{2}\)