Question

Найти функцию f(x) , удовлетворяющую условию 4f(x)+2f(1/x) =2x+5 при всех допустимых значениях х.

Answer 1

4f(x)+2f(1/x)=2x+5
Если x->1/x , то 4f(1/x)+2f(x)=2/x+5.
Из первого уравнения 2f(1/x)=--4f(x)+2x+5, подставляем в последнее:
-8f(x)+4x+10+2f(x)=2/x+5, 6f(x)=4x-2/x+5, откуда f(x)=2/3 x-1/(3x) +5/6

Answer 2

Давайте попробуем решить данное уравнение. У нас есть уравнение:

\[4f(x) + 2f\left(\frac{1}{x}\right) = 2x + 5.\]

Давайте введем новую переменную \(u = \frac{1}{x}\). Тогда у нас будет \(x = \frac{1}{u}\). Теперь мы можем переписать уравнение, используя новую переменную:

\[4f\left(\frac{1}{u}\right) + 2f(u) = \frac{2}{u} + 5.\]

Умножим обе стороны на \(u\), чтобы избавиться от дроби:

\[4u \cdot f\left(\frac{1}{u}\right) + 2u \cdot f(u) = 2 + 5u.\]

Теперь вернемся к переменной \(x\), подставив обратно \(u = \frac{1}{x}\):

\[4 \cdot \frac{1}{x} \cdot f(x) + 2 \cdot \frac{1}{x} \cdot f\left(\frac{1}{x}\right) = 2 + 5 \cdot \frac{1}{x}.\]

Умножим обе стороны на \(x\), чтобы избавиться от дроби:

\[4f(x) + 2f\left(\frac{1}{x}\right) = 2x + 5.\]

Таким образом, мы видим, что полученное уравнение совпадает с исходным. Это означает, что у нас нет дополнительных ограничений на функцию \(f(x)\), и она может быть любой функцией, удовлетворяющей исходному уравнению:

\[4f(x) + 2f\left(\frac{1}{x}\right) = 2x + 5.\]

Таким образом, решение данной задачи — любая функция \(f(x)\), для которой выполняется указанное уравнение.