Question

Ctg(pi/4-x)/(sinx+cosx)^2

Answer 1

Использована формула сложения, формула косинуса двойного угла

Answer 2

Давайте разберем данное выражение:

\[ \frac{\cot\left(\frac{\pi}{4} - x\right)}{(\sin x + \cos x)^2} \]

1. Ctg (котангенс): Котангенс угла равен отношению косинуса к синусу угла. Таким образом, \(\cot(\theta) = \frac{1}{\tan(\theta)} = \frac{\cos(\theta)}{\sin(\theta)}\).

2. \(\frac{\pi}{4} - x\): Здесь угол внутри котангенса равен \(\frac{\pi}{4} - x\).

3. \((\sin x + \cos x)^2\): Это квадрат суммы синуса и косинуса угла.

Теперь мы можем подставить значения и упростить выражение:

\[ \frac{\cot\left(\frac{\pi}{4} - x\right)}{(\sin x + \cos x)^2} = \frac{\frac{\cos\left(\frac{\pi}{4} - x\right)}{\sin\left(\frac{\pi}{4} - x\right)}}{(\sin x + \cos x)^2} \]

Теперь упростим числитель и знаменатель:

\[ \frac{\cos\left(\frac{\pi}{4} - x\right)}{\sin\left(\frac{\pi}{4} - x\right)} \cdot \frac{1}{(\sin x + \cos x)^2} \]

Используем тригонометрические тождества для упрощения числителя:

\[ \frac{\cos\left(\frac{\pi}{4} - x\right)}{\sin\left(\frac{\pi}{4} - x\right)} = \frac{\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)\cos(x) + \sin\left(\frac{\pi}{4}\right)\sin(x)}{\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)\cos(x) - \cos\left(\frac{\pi}{4}\right)\sin(x)} \]

\[ = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}\cos(x) + \frac{\sqrt{2}}{2}\sin(x)}{\frac{\sqrt{2}}{2}\cos(x) - \frac{\sqrt{2}}{2}\sin(x)} \]

\[ = \frac{\cos(x) + \sin(x)}{\cos(x) - \sin(x)} \]

Теперь упростим знаменатель:

\[ (\sin x + \cos x)^2 = \sin^2 x + 2\sin x \cos x + \cos^2 x \]

\[ = 1 + \sin 2x \]

Теперь мы можем подставить упрощенные значения числителя и знаменателя обратно в исходное выражение:

\[ \frac{\frac{\cos(x) + \sin(x)}{\cos(x) - \sin(x)}}{1 + \sin 2x} \]

\[ = \frac{\cos(x) + \sin(x)}{(\cos(x) - \sin(x))(1 + \sin 2x)} \]

Это и есть окончательный ответ.