Question

Решите уравнение x^2+(p+1)x^2+p=0

Answer 1

$x^2+(p+1)x+p=0$
Решить уравнение с параметром, значит найти все корни этого уравнения при всех значениях параметра p(рассмотреть всю числовую ось)
Не обращаем внимания на параметр и просто решаем квадратное уравнение через дискриминант.

$D=b^2-4ac=(p+1)^2-4*p=p^2+2p+1-4p=\\=p^2-2p+1=(p-1)^2\\\\x_1=\frac{-p-1+\sqrt{(p-1)^2}}{2}=\frac{-p-1+|p-1|}{2}\\\\x_2=\frac{-p-1-|p-1|}2\\\\1.\,\,p\ \textgreater \ 1\\\\x_1=\frac{-p-1+p-1}{2}=-1\\\\x_2=\frac{-p-1-p+1}{2}=\frac{-2p}2=-p\\\\2.\,\,p\ \textless \ 1\\\\x_1=\frac{-p-1-p+1}{2}=-p\\\\x_2=\frac{-p-1+p-1}{2}=-1$
От сюда: 
$p\in(-\infty;1)U(1;+\infty):\,\,x=-1,\,\,x=-p$

Но это еще не все. Не забываем про вариант, когда дискриминант равен 0.

$(p-1)^2=0\\p=1\\x^2+(1+1)x+1=0\\x^2+2x+1=0\\(x+1)^2=0\\x=-1$

Ответ: $p=1:\,\,x=-1\\p\in(-\infty;1)U(1;+\infty):\,\,x=-1,\,\,x=-p$

Answer 2

Дано уравнение: x^2 + (p+1)x^2 + p = 0.

Для начала, объединим первые два слагаемых по общим степеням x:

(1+p)x^2 + p = 0.

Теперь проведем факторизацию:

(1+p)x^2 + p = (1+p)(x^2 + 1) = 0.

Уравнение имеет два корня:

1) (1+p) = 0. Это означает, что p = -1. Заметим, что это не приводит к решению, так как p по определению не может быть равно -1.

2) x^2 + 1 = 0. В этом уравнении нет действительных корней, так как x^2 не может быть отрицательным для всех реальных чисел x. Однако, можно рассмотреть решение в комплексных числах. Если мы представим x в виде x = ai, где a - действительное число, а i - мнимая единица (√(-1)), тогда уравнение примет вид:

(a^2)(i^2) + 1 = 0, -a^2 + 1 = 0.

Решение этого уравнения даёт a = ±√1 = ±1. Таким образом, корни уравнения x^2 + 1 = 0 в комплексных числах равны x = ±i.

Таким образом, решениям уравнения x^2 + (p+1)x^2 + p = 0 будут:

p = -1 (но это не реальное решение) x = ±i (решение в комплексных числах)